Их суждения мы должны принимать во
внимание, размышляя о том, возникла ли в результате научной революции XVII
столетия абсолютно новая, не имеющая ничего общего с античной и
средневековой, форма знания или же между новой и старой наукой была
существенная содержательная связь.
Вернемся, однако, к обоснованию математики. Непоследовательность в
рассуждениях Лейбница об основаниях математики отнюдь не случайна. Здесь мы
имеем дело с одной из центральных проблем, унаследованной наукой нового
времени от античности: в чем состоит природа суждений геометрии, чем
обусловлена всеобщность и необходимость этих суждений?
Говоря о том, что довести до конца анализ понятий весьма трудно, Лейбниц,
как мы помним, заметил, что если в человеческом знании и есть аналитическое
понятие, то, пожалуй, это только понятие числа. Определение числа ближе
всего к совершенному, а это последнее имеет место в тех случаях, "когда...
анализ вещи простирается в нем вплоть до первичных понятий, ничего не
предполагая, что нуждалось бы в доказательстве априори своей
возможности...". Такое определение понятия вещи Лейбниц называет реальным и
сущностным, отличая от него, как мы уже выше упоминали, определение
реальное и причинное, которое "заключает в себе способ возможного
произведения вещи". В случае причинного определения доказательство
возможности, подчеркивает Лейбниц, тоже осуществляется априорно, но эта
априорность, так сказать, более низкого качества, чем первая, потому что
здесь анализ не доводится до конца - до тождественных положений.
С реальным причинным определением, т.е. с определением предмета посредством
его порождения, или конструкции, мы имеем дело в геометрии. Мы порождаем
геометрические понятия - линии, треугольники, окружности и т.д. - путем
движения точки в пространстве. Таким образом, в качестве предпосылок
геометрии, что видно на примере аксиом, постулатов и определений Евклида,
выступают пространство и движение. Именно в силу этого в геометрии мы имеем
дело не с чистым числом, а с величиной, а величина не тождественна числу, -
в этом Лейбниц убежден так же, как Платон, и не склонен к их чрезмерному
сближению, как это делал Декарт. А сближение это было основано у Декарта на
том, что он считал понятия величины, фигуры и движения ясными и отчетливыми
и в этом смысле ничем принципиально не отличающимися от понятия числа. По
этому поводу Лейбниц высказывает следующее возражение: "Можно доказать, что
понятие величины, фигуры и движения вовсе не так отчетливо, как воображают,
и что оно заключает в себе нечто мнимое и относящееся к нашим восприятиям,
хотя и не в такой степени, как цвет, теплота и тому подобные качества, в
которых можно усомниться, действительно ли они существуют в природе вещей
вне нас..."
Здесь мы уже можем четко представить себе, в чем состоит расхождение между
Лейбницем и Декартом. Для Декарта протяжение - это первичное понятие,
совершенно отчетливое и далее не разложимое, составляющее исходный принцип
его понимания природы и в то же время (поскольку природа для Декарта есть
воплощение математических законов) лежащее также и в основе математики.
Именно поэтому для Декарта математика - это прежде всего геометрия, притом
геометрия уже не вполне античная, поскольку понятия числа и величины у
Декарта, в сущности, не различаются. У Лейбница, напротив, протяжение - это
не первичное, а производное понятие, оно не обладает отчетливостью и
образовано не одним только умом, но умом и воображением, а значит, оно есть
гибрид, как это доказывал Платон. А отсюда следует, что это понятие не
может быть первым началом ни для понимания природы, ни для обоснования
математики. В этом пункте Лейбниц гораздо ближе к античной философии, чем
Галилей и Декарт.
Вот еще одно рассуждение Лейбница, проливающее свет на его понимание
математического знания, которое создается при помощи двух различных
способностей - воображения, или общего чувства, и разума. "Так как душа
наша сравнивает (например) числа и фигуры, находящиеся в цветах, с числами
и фигурами, заключающимися в осязательных ощущениях, то необходимо должно
существовать внутреннее чувство, где соединяются восприятия этих различных
внешних чувств. Это и есть то, что называют воображением, которое обнимает
как понятия отдельных чувств, ясные, но смутные, так и понятия общего
чувства, ясные и отчетливые. Эти принадлежащие воображению ясные и
отчетливые идеи составляют предмет математических наук, то есть арифметики
и геометрии, - представляющих науки чистые, и их приложений к природе,
составляющих математику прикладную... Не подлежит сомнению, что
математические науки не были бы демонстративными и состояли бы в простой
индукции или наблюдении, - которые никогда не могут обеспечить полную и
совершенную всеобщность истин, заключающихся в этих науках, - если бы на
помощь чувствам и воображению не приходило нечто более высокое, которое
может доставить только один ум".
Те понятия, которые целиком разложимы и могут быть сведены к тождественным
утверждениям, или, иначе говоря, которые полностью аналитичны, Лейбниц
считает созданными самим умом - ближе всего к таким понятиям, как мы уже
знаем, стоит, по Лейбницу, понятие числа. Что же касается геометрических
понятий, то они поддаются анализу настолько, насколько в их создании
принимает участие ум, и неразложимы в той мере, в какой оказываются
основанными на общем чувстве, т.е. на воображении. Именно поэтому
доказательство возможности геометрического понятия ведется не через анализ,
а через конструкцию, т.е. путем порождения предмета, соответствующего
понятию.
4. Конструкция как принцип порождения объекта
Вопрос о достоверности геометрии служил предметом непрекращавшихся споров
на протяжении XVI-XVII вв. между представителями схоластики и защитниками
новой науки. Схоластики при этом апеллировали к Аристотелю, у которого, как
мы знаем, математика обосновывалась иначе, чем в работах Галилея, Декарта,
Гоббса и др., поскольку Аристотель не считал ее "первой наукой" и по ее
онтологическому статусу ставил после метафизики и физики. В схоластике в
качестве аргумента приводилось соображение Аристотеля о том, что, в отличие
от метафизики и физики, дающих причинное объяснение явлений, математика не
может объяснять из причин.
Критикуя схоластику, создатели науки нового времени пытались показать, что
геометрия, на базе которой создавалась механика как основная наука о
природе, является самой достоверной и позволяет постигнуть основные законы
природы как раз потому, что она дает причинное объяснение. К этой
аргументации полностью присоединился и молодой Лейбниц. В письме к Я.
Томмазиусу (1669) он пишет: "...если мы рассмотрим дело ближе, то окажется,
что геометрия доказывает именно из причин. В самом деле, она выясняет
фигуры из движения: из движения точки происходит линия, из движения линии -
поверхность, из движения поверхности - тело, из движения прямой по прямой
происходит плоскость, из движения прямой вокруг неподвижной точки
происходит круг и т.п. Таким образом, построение фигур есть движение;
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143
внимание, размышляя о том, возникла ли в результате научной революции XVII
столетия абсолютно новая, не имеющая ничего общего с античной и
средневековой, форма знания или же между новой и старой наукой была
существенная содержательная связь.
Вернемся, однако, к обоснованию математики. Непоследовательность в
рассуждениях Лейбница об основаниях математики отнюдь не случайна. Здесь мы
имеем дело с одной из центральных проблем, унаследованной наукой нового
времени от античности: в чем состоит природа суждений геометрии, чем
обусловлена всеобщность и необходимость этих суждений?
Говоря о том, что довести до конца анализ понятий весьма трудно, Лейбниц,
как мы помним, заметил, что если в человеческом знании и есть аналитическое
понятие, то, пожалуй, это только понятие числа. Определение числа ближе
всего к совершенному, а это последнее имеет место в тех случаях, "когда...
анализ вещи простирается в нем вплоть до первичных понятий, ничего не
предполагая, что нуждалось бы в доказательстве априори своей
возможности...". Такое определение понятия вещи Лейбниц называет реальным и
сущностным, отличая от него, как мы уже выше упоминали, определение
реальное и причинное, которое "заключает в себе способ возможного
произведения вещи". В случае причинного определения доказательство
возможности, подчеркивает Лейбниц, тоже осуществляется априорно, но эта
априорность, так сказать, более низкого качества, чем первая, потому что
здесь анализ не доводится до конца - до тождественных положений.
С реальным причинным определением, т.е. с определением предмета посредством
его порождения, или конструкции, мы имеем дело в геометрии. Мы порождаем
геометрические понятия - линии, треугольники, окружности и т.д. - путем
движения точки в пространстве. Таким образом, в качестве предпосылок
геометрии, что видно на примере аксиом, постулатов и определений Евклида,
выступают пространство и движение. Именно в силу этого в геометрии мы имеем
дело не с чистым числом, а с величиной, а величина не тождественна числу, -
в этом Лейбниц убежден так же, как Платон, и не склонен к их чрезмерному
сближению, как это делал Декарт. А сближение это было основано у Декарта на
том, что он считал понятия величины, фигуры и движения ясными и отчетливыми
и в этом смысле ничем принципиально не отличающимися от понятия числа. По
этому поводу Лейбниц высказывает следующее возражение: "Можно доказать, что
понятие величины, фигуры и движения вовсе не так отчетливо, как воображают,
и что оно заключает в себе нечто мнимое и относящееся к нашим восприятиям,
хотя и не в такой степени, как цвет, теплота и тому подобные качества, в
которых можно усомниться, действительно ли они существуют в природе вещей
вне нас..."
Здесь мы уже можем четко представить себе, в чем состоит расхождение между
Лейбницем и Декартом. Для Декарта протяжение - это первичное понятие,
совершенно отчетливое и далее не разложимое, составляющее исходный принцип
его понимания природы и в то же время (поскольку природа для Декарта есть
воплощение математических законов) лежащее также и в основе математики.
Именно поэтому для Декарта математика - это прежде всего геометрия, притом
геометрия уже не вполне античная, поскольку понятия числа и величины у
Декарта, в сущности, не различаются. У Лейбница, напротив, протяжение - это
не первичное, а производное понятие, оно не обладает отчетливостью и
образовано не одним только умом, но умом и воображением, а значит, оно есть
гибрид, как это доказывал Платон. А отсюда следует, что это понятие не
может быть первым началом ни для понимания природы, ни для обоснования
математики. В этом пункте Лейбниц гораздо ближе к античной философии, чем
Галилей и Декарт.
Вот еще одно рассуждение Лейбница, проливающее свет на его понимание
математического знания, которое создается при помощи двух различных
способностей - воображения, или общего чувства, и разума. "Так как душа
наша сравнивает (например) числа и фигуры, находящиеся в цветах, с числами
и фигурами, заключающимися в осязательных ощущениях, то необходимо должно
существовать внутреннее чувство, где соединяются восприятия этих различных
внешних чувств. Это и есть то, что называют воображением, которое обнимает
как понятия отдельных чувств, ясные, но смутные, так и понятия общего
чувства, ясные и отчетливые. Эти принадлежащие воображению ясные и
отчетливые идеи составляют предмет математических наук, то есть арифметики
и геометрии, - представляющих науки чистые, и их приложений к природе,
составляющих математику прикладную... Не подлежит сомнению, что
математические науки не были бы демонстративными и состояли бы в простой
индукции или наблюдении, - которые никогда не могут обеспечить полную и
совершенную всеобщность истин, заключающихся в этих науках, - если бы на
помощь чувствам и воображению не приходило нечто более высокое, которое
может доставить только один ум".
Те понятия, которые целиком разложимы и могут быть сведены к тождественным
утверждениям, или, иначе говоря, которые полностью аналитичны, Лейбниц
считает созданными самим умом - ближе всего к таким понятиям, как мы уже
знаем, стоит, по Лейбницу, понятие числа. Что же касается геометрических
понятий, то они поддаются анализу настолько, насколько в их создании
принимает участие ум, и неразложимы в той мере, в какой оказываются
основанными на общем чувстве, т.е. на воображении. Именно поэтому
доказательство возможности геометрического понятия ведется не через анализ,
а через конструкцию, т.е. путем порождения предмета, соответствующего
понятию.
4. Конструкция как принцип порождения объекта
Вопрос о достоверности геометрии служил предметом непрекращавшихся споров
на протяжении XVI-XVII вв. между представителями схоластики и защитниками
новой науки. Схоластики при этом апеллировали к Аристотелю, у которого, как
мы знаем, математика обосновывалась иначе, чем в работах Галилея, Декарта,
Гоббса и др., поскольку Аристотель не считал ее "первой наукой" и по ее
онтологическому статусу ставил после метафизики и физики. В схоластике в
качестве аргумента приводилось соображение Аристотеля о том, что, в отличие
от метафизики и физики, дающих причинное объяснение явлений, математика не
может объяснять из причин.
Критикуя схоластику, создатели науки нового времени пытались показать, что
геометрия, на базе которой создавалась механика как основная наука о
природе, является самой достоверной и позволяет постигнуть основные законы
природы как раз потому, что она дает причинное объяснение. К этой
аргументации полностью присоединился и молодой Лейбниц. В письме к Я.
Томмазиусу (1669) он пишет: "...если мы рассмотрим дело ближе, то окажется,
что геометрия доказывает именно из причин. В самом деле, она выясняет
фигуры из движения: из движения точки происходит линия, из движения линии -
поверхность, из движения поверхности - тело, из движения прямой по прямой
происходит плоскость, из движения прямой вокруг неподвижной точки
происходит круг и т.п. Таким образом, построение фигур есть движение;
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143