а так как число сторон не
ограниченно, а бесконечно, то и число промежутков между ними также
бесконечно; бесчисленные точки в одном случае заняты все, в другом случае
часть их занята, а часть пуста".
Здесь Галилей делает одно допущение, на котором уже и держится все
последующее его доказательство, а именно что круг представляет собой
многоугольник с бесконечно большим числом сторон. Такое допущение не
принималось математиками ни в античности, ни в средние века, оно
дозволялось только в логистике для упрощения расчетов, которые всегда
принимались как приблизительные. Допущение предельного перехода
многоугольника с как угодно большим, но конечным числом сторон в фигуру
другого рода - круг - позволяет Галилею ввести в оборот понятие актуальной
бесконечности, вместе с которым в научное построение проникают парадоксы -
и на этих-то парадоксах, которые прежде в математику пытались не впускать,
как раз и работает та новая ветвь математики, которая во времена Галилея
носит название "математики неделимых", а впоследствии получает название
исчисления бесконечно малых. В "Беседах" Галилея мы наглядно можем видеть,
как формируется методологический базис этой новой математики, возникшей
вместе с механикой нового времени как ее математический фундамент.
Весь парадокс теперь сосредоточивается в понятии "пустых точек", которые
представляют собой промежутки, лишенные величины. Введение этих "пустых
точек" служит для Галилея средством преодоления противоположности
непрерывного и дискретного - противоположности, которую считал
принципиальной для науки Аристотель и на которой базируется его физика и
философия в той же мере, в какой и математика Евклида.
Насколько эта противоположность была принципиальна также и для
средневековой науки, свидетельствует, в частности, трактат Брадвардина о
континууме, где показано, к каким парадоксам и противоречиям приводит
попытка составления континуума из неделимых (т.е. из точек).
Галилей показывает, какие новые возможности открываются перед научным
мышлением, если принять понятие актуальной бесконечности. "...Разделяя
линию на некоторые конечные и потому поддающиеся счету части, нельзя
получить путем соединения этих частей линии, превышающей по длине
первоначальную, не вставляя пустых пространств между ее частями; но,
представляя себе линию, разделенную на неконечные части, то есть на
бесконечно многие ее неделимые, мы можем мыслить ее колоссально растянутой
без вставки конечных пустых пространств, а путем вставки бесконечно многих
неделимых пустот".
Таким путем вводит Галилей чрезвычайно важное для науки XVII-XVIII вв.
понятие неделимого, вызвавшее серьезную и очень плодотворную дискуссию
между математиками, философами, физиками на протяжении более чем двухсот
лет. Как видим, это новое понятие вводится с помощью математического
доказательства и базируется на приеме, введенном в философское мышление
Николаем Кузанским, - на приеме предельного перехода, представляющем собой
как бы псевдонаглядную демонстрацию принципа совпадения противоположностей.
Именно псевдонаглядную, потому что не только нашему наглядному
представлению, но даже нашему мышлению не под силу понять совпадение
противоположностей, о котором ведут речь и Кузанец, и Галилей.
Заметим, как называет Галилей это новорожденное понятие-парадокс. Он дает
ему несколько имен, каждое из которых несет на себе след того приема мысли,
с помощью которого это понятие появилось на свет: "пустые точки",
"неделимые пустоты", "неконечные части линии" и, наконец, просто
"неделимые", или "атомы".
Вот тут, на исходе XVI в., впервые действительно появляются те самые
"математические атомы", или "амеры", которые С.Я. Лурье нашел у Галилея и
его ученика Кавальери и попытался - но без достаточных доказательств -
обнаружить также и у Демокрита. К такому сопоставлению С.Я. Лурье побудили,
вероятно, некоторые высказывания того же Галилея.
Получив понятие "неделимое" в рамках математического рассуждения, Галилей,
однако же, показывает, что это понятие вполне работает также и в физике,
более того, как мы помним, даже и математическое доказательство было
предпринято им с целью найти средства для решения физической проблемы
связности тел. "То, что я сказал о простых линиях, - пишет Галилей, -
относится также и к поверхностям твердых тел, если рассматривать их как
состоящие из бесконечного множества атомов. Если мы разделим тело на
конечное число частей, то, без сомнения, не сможем получить из них тела,
которое занимало бы объем, превышающий первоначальный, без того, чтобы
между частями не образовалось пустого пространства, то есть такого, которое
не заполнено веществом данного тела; но если допустить предельное и крайнее
разложение тела на лишенные величины и бесчисленные первичные составляющие,
то можно представить себе такие составляющие растянутыми на огромное
пространство путем включения не конечных пустых пространств, а только
бесконечно многих пустот, лишенных величины. И таким образом допустимо,
например, растянуть маленький золотой шарик на весьма большой объем, не
допуская конечных пустот, - во всяком случае, если мы принимаем, что золото
состоит из бесконечно многих неделимых".
Не удивительно, что понятие "неделимое", или "бесконечно малое", на
протяжении многих десятилетий отвергалось большим числом математиков и
вызывало множество споров у физиков. Ведь в сущности Галилей в приведенном
выше отрывке узаконивает апорию Зенона, служившую для элеатов средством
доказательства того, что актуально бесконечное множество вообще не может
быть мыслимо без противоречия, превращая ее из орудия разрушения в орудие
созидания, но не снимая при этом противоречия, а пользуясь им как
инструментом позитивной науки. В самом деле, Галилей утверждает, что из
лишенных величины элементов (т.е. элементов, строго говоря, бестелесных,
ибо тело - пусть самое наименьшее - всегда имеет величину) можно составить
как угодно большое тело при условии, что этих лишенных величины
составляющих будет бесконечное множество. Таким образом, одно непонятное -
лишенную величины составляющую часть тела - Галилей хочет сделать
инструментом познания с помощью другого непонятного - актуально
существующего бесконечного числа, которого не принимала ни античная, ни
средневековая математика. Последняя, правда, в лице некоторых своих
теоретиков, как, например, Гроссетеста, признавала актуально бесконечное
число, но оговаривала, что оно доступно лишь Богу, а человеческий разум
оперировать этим понятием не в состоянии.
Как видно из рассуждений Галилея, понятие бесконечно малого вводится им
одновременно с понятием бесконечно большого - эти два понятия взаимно
предполагают друг друга, точно так же как это мы видели у Николая
Кузанского.
"Неделимое", или бесконечно малое, Галилея очень похоже на "абсолютный
минимум" Николая Кузанского, а галилеево "бесконечно большое" - на
"абсолютный максимум". И в основе галилеевского построения лежит идея
тождества этих противоположностей, в конечном счете восходящая к тождеству
единого и бесконечного, составляющему центральный принцип учения Кузанца.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143
ограниченно, а бесконечно, то и число промежутков между ними также
бесконечно; бесчисленные точки в одном случае заняты все, в другом случае
часть их занята, а часть пуста".
Здесь Галилей делает одно допущение, на котором уже и держится все
последующее его доказательство, а именно что круг представляет собой
многоугольник с бесконечно большим числом сторон. Такое допущение не
принималось математиками ни в античности, ни в средние века, оно
дозволялось только в логистике для упрощения расчетов, которые всегда
принимались как приблизительные. Допущение предельного перехода
многоугольника с как угодно большим, но конечным числом сторон в фигуру
другого рода - круг - позволяет Галилею ввести в оборот понятие актуальной
бесконечности, вместе с которым в научное построение проникают парадоксы -
и на этих-то парадоксах, которые прежде в математику пытались не впускать,
как раз и работает та новая ветвь математики, которая во времена Галилея
носит название "математики неделимых", а впоследствии получает название
исчисления бесконечно малых. В "Беседах" Галилея мы наглядно можем видеть,
как формируется методологический базис этой новой математики, возникшей
вместе с механикой нового времени как ее математический фундамент.
Весь парадокс теперь сосредоточивается в понятии "пустых точек", которые
представляют собой промежутки, лишенные величины. Введение этих "пустых
точек" служит для Галилея средством преодоления противоположности
непрерывного и дискретного - противоположности, которую считал
принципиальной для науки Аристотель и на которой базируется его физика и
философия в той же мере, в какой и математика Евклида.
Насколько эта противоположность была принципиальна также и для
средневековой науки, свидетельствует, в частности, трактат Брадвардина о
континууме, где показано, к каким парадоксам и противоречиям приводит
попытка составления континуума из неделимых (т.е. из точек).
Галилей показывает, какие новые возможности открываются перед научным
мышлением, если принять понятие актуальной бесконечности. "...Разделяя
линию на некоторые конечные и потому поддающиеся счету части, нельзя
получить путем соединения этих частей линии, превышающей по длине
первоначальную, не вставляя пустых пространств между ее частями; но,
представляя себе линию, разделенную на неконечные части, то есть на
бесконечно многие ее неделимые, мы можем мыслить ее колоссально растянутой
без вставки конечных пустых пространств, а путем вставки бесконечно многих
неделимых пустот".
Таким путем вводит Галилей чрезвычайно важное для науки XVII-XVIII вв.
понятие неделимого, вызвавшее серьезную и очень плодотворную дискуссию
между математиками, философами, физиками на протяжении более чем двухсот
лет. Как видим, это новое понятие вводится с помощью математического
доказательства и базируется на приеме, введенном в философское мышление
Николаем Кузанским, - на приеме предельного перехода, представляющем собой
как бы псевдонаглядную демонстрацию принципа совпадения противоположностей.
Именно псевдонаглядную, потому что не только нашему наглядному
представлению, но даже нашему мышлению не под силу понять совпадение
противоположностей, о котором ведут речь и Кузанец, и Галилей.
Заметим, как называет Галилей это новорожденное понятие-парадокс. Он дает
ему несколько имен, каждое из которых несет на себе след того приема мысли,
с помощью которого это понятие появилось на свет: "пустые точки",
"неделимые пустоты", "неконечные части линии" и, наконец, просто
"неделимые", или "атомы".
Вот тут, на исходе XVI в., впервые действительно появляются те самые
"математические атомы", или "амеры", которые С.Я. Лурье нашел у Галилея и
его ученика Кавальери и попытался - но без достаточных доказательств -
обнаружить также и у Демокрита. К такому сопоставлению С.Я. Лурье побудили,
вероятно, некоторые высказывания того же Галилея.
Получив понятие "неделимое" в рамках математического рассуждения, Галилей,
однако же, показывает, что это понятие вполне работает также и в физике,
более того, как мы помним, даже и математическое доказательство было
предпринято им с целью найти средства для решения физической проблемы
связности тел. "То, что я сказал о простых линиях, - пишет Галилей, -
относится также и к поверхностям твердых тел, если рассматривать их как
состоящие из бесконечного множества атомов. Если мы разделим тело на
конечное число частей, то, без сомнения, не сможем получить из них тела,
которое занимало бы объем, превышающий первоначальный, без того, чтобы
между частями не образовалось пустого пространства, то есть такого, которое
не заполнено веществом данного тела; но если допустить предельное и крайнее
разложение тела на лишенные величины и бесчисленные первичные составляющие,
то можно представить себе такие составляющие растянутыми на огромное
пространство путем включения не конечных пустых пространств, а только
бесконечно многих пустот, лишенных величины. И таким образом допустимо,
например, растянуть маленький золотой шарик на весьма большой объем, не
допуская конечных пустот, - во всяком случае, если мы принимаем, что золото
состоит из бесконечно многих неделимых".
Не удивительно, что понятие "неделимое", или "бесконечно малое", на
протяжении многих десятилетий отвергалось большим числом математиков и
вызывало множество споров у физиков. Ведь в сущности Галилей в приведенном
выше отрывке узаконивает апорию Зенона, служившую для элеатов средством
доказательства того, что актуально бесконечное множество вообще не может
быть мыслимо без противоречия, превращая ее из орудия разрушения в орудие
созидания, но не снимая при этом противоречия, а пользуясь им как
инструментом позитивной науки. В самом деле, Галилей утверждает, что из
лишенных величины элементов (т.е. элементов, строго говоря, бестелесных,
ибо тело - пусть самое наименьшее - всегда имеет величину) можно составить
как угодно большое тело при условии, что этих лишенных величины
составляющих будет бесконечное множество. Таким образом, одно непонятное -
лишенную величины составляющую часть тела - Галилей хочет сделать
инструментом познания с помощью другого непонятного - актуально
существующего бесконечного числа, которого не принимала ни античная, ни
средневековая математика. Последняя, правда, в лице некоторых своих
теоретиков, как, например, Гроссетеста, признавала актуально бесконечное
число, но оговаривала, что оно доступно лишь Богу, а человеческий разум
оперировать этим понятием не в состоянии.
Как видно из рассуждений Галилея, понятие бесконечно малого вводится им
одновременно с понятием бесконечно большого - эти два понятия взаимно
предполагают друг друга, точно так же как это мы видели у Николая
Кузанского.
"Неделимое", или бесконечно малое, Галилея очень похоже на "абсолютный
минимум" Николая Кузанского, а галилеево "бесконечно большое" - на
"абсолютный максимум". И в основе галилеевского построения лежит идея
тождества этих противоположностей, в конечном счете восходящая к тождеству
единого и бесконечного, составляющему центральный принцип учения Кузанца.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143