Декарт подчеркивает - и это очень существенно для него,
- что основание для измерения не обязательно должно иметь место в самом
объекте, оно может быть и только мыслимым, т.е. устанавливаться
произвольно; оба эти основания - реальное и только мыслимое, по Декарту,
равноценны. Единицу измерения Декарт определяет как "то всеобщее свойство,
к которому должны быть приобщены все вещи, сравниваемые между собой", - и
такое свойство тоже может приписываться вещам произвольно. "Все те
измерения, которые не имеют основания в вещах, являются созданиями
интеллекта..." Сюда Декарт относит также и определения геометрических
понятий, трактуя, таким образом, интеллект вполне номиналистически - как
способность конструировать понятия в отрыве от реальности. Правда,
интеллект создает понятия не без помощи прирожденного ему естественного
света, и в этом состоит основание значимости его конструктов.
Помимо процедуры измерения, метод включает в себя порядок. Декарт даже
определяет метод как "постоянное соблюдение порядка". Интересен пример,
который приводит Декарт для пояснения того, что такое порядок. Примером
порядка может служить "искусство ткачей и обойщиков, искусство женщин
вязать спицами или переплетать нити тканей в бесконечно разнообразные
узоры". Арифметика, говорит Декарт, родственна именно этому искусству
"переплетения узоров".
Но измерение и порядок составляют также основные процедуры математики, как
ее мыслит Декарт. "К области математики, - пишет он, - относятся только те
науки, в которых рассматривается либо порядок, либо мера, и совершенно
несущественно, будут ли это числа, фигуры, звезды, звуки или что-нибудь
другое, в чем отыскивается эта мера: таким образом, должна существовать
некая общая наука, объясняющая все относящееся к порядку и мере, не входя в
исследование никаких частных предметов, и эта наука должна называться не
иностранным, но старым, уже вошедшим в употребление именем всеобщей
математики, ибо она содержит в себе все то, благодаря чему другие науки
называются частями математики".
Само понятие "mathesis universalis" является вполне традиционным, оно
употреблялось еще Проклом в "Комментарии к Евклиду" и обозначало там
принципы и действия, имеющие силу для всех математических объектов. В XVI
в. некоторые математики, например Росселин и Бомбелли, пользовались этим
понятием Прокла и отождествили "универсальную науку" с алгеброй, которую
они рассматривали как общую аналитическую дисциплину. В качестве всеобщей
математики Декарт рассматривает именно алгебру, которая одна только в
полном смысле удовлетворяет требованию "не входить в изучение никаких
частных предметов". Арифметику и геометрию Декарт стремится как можно более
уподобить алгебре, отходя в этом смысле от того их понимания, которое было
в античности. Алгебра становится для Декарта образцом математической науки
именно потому, что он рассматривает математику как науку об исчислении,
совершенно абстрагируясь от специфики той предметной области, к которой
применяется исчисление. Естественно, что тем самым Декарт в значительной
мере сближает математику как теоретическое знание с логистикой (или
калькуляцией, как ее называли в средние века), т.е. техникой счета, отходя
тем самым от строгого понятия математики, как оно сложилось в классический
период античной науки (с V по III в. до н. э.). Не удивительно, что Декарт
подвергает критике античную математику, отмечая, что доказательства в ней
были достигнуты "скорее благодаря случайности, чем искусству" и относятся
"скорее к зрению и воображению, чем к интеллекту". Тем самым Декарт
зачисляет античную математику в разряд той науки, что еще не
руководствовалась сознательно применяемым методом и развивалась
беспорядочно, продвигаясь ощупью. Почтительное отношение к античной
математике как к непревзойденному образцу строгости и доказательности,
господствовавшее на протяжении всего средневековья и характерное еще для
XV-XVI вв., включая даже и Галилея, сменяется у Декарта высокомерным и
критическим отношением к ней. Правда, он называет имена Паппа и Диофанта,
но именно потому, что Диофант был первым греческим математиком,
использовавшим алгебраические методы, а интересы Паппа больше, чем других
античных математиков, были ориентированы на практическое применение
математики.
Здесь уместно отметить, что часто проводимое историками философии сравнение
Декарта с Платоном на том основании, что оба видели в математике самую
достоверную из наук и считали, что только она может обеспечить базу для
физики, упускает из виду различия между этими мыслителями в понимании как
самой математики, так и ее роли в познании. Во-первых, Платон видел в
математике прежде всего средство к подготовке ума для постижения некой
сверхчувственной реальности - умопостигаемого мира идей, тогда как Декарт
рассматривает ее как средство познания эмпирического мира. Во-вторых,
Платон резко противопоставляет математику как теоретическую науку логистике
как технике вычисления, тогда как Декарт, напротив, сближает эти две сферы,
сравнивая деятельность математика с работой ткача; у Декарта мы нередко
встречаем почти полное отождествление геометра с калькулятором. И, наконец,
Платон считает математику содержательной наукой, поскольку она имеет свой
особый предмет исследования: арифметика - числа и их отношения, а геометрия
- соотношения фигур. Декарт, в отличие от него, убежден, что математика
есть наука формальная, что ее правила и понятия - это создания интеллекта,
не имеющие вне его никакой реальности, и что поэтому математику совершенно
все равно, что "считать": числа, звезды, звуки и т.д. В результате Декарт,
подобно калькуляторам, или счетчикам, предлагает пренебречь строгими
определениями понятий, введенными античной математикой. Так, например,
точку, которую Евклид определяет как "то, что не имеет частей", Декарт
предлагает мыслить как "нечто, обладающее в полном смысле этого слова
протяжением и бесконечным количеством измерений". Поскольку геометрические
фигуры - линии, треугольники, прямоугольники и т.д. - в аналитической
геометрии, созданной Декартом, играют роль знаков, обозначающих совсем
другие связи и отношения, то они легко превращаются в средство для счета и
теряют свое собственное значение, так что, например, прямоугольник и линия,
как указывает Декарт, больше не должны принципиально различаться. "...В
процессе действия часто бывают случаи, когда какой-либо прямоугольник,
после того как он был произведен умножением двух линий, вскоре для другого
действия требуется понимать как линию..."
Конечно, полностью различие между математикой и техникой счета Декарт не
снимает. "...Мы стремимся достичь очевидного и отчетливого познания вещей,
счетчики же не делают этого потому, что удовлетворяются отысканием нужного
им числа, не замечая зависимости его от данных чисел, между тем как только
в этом и заключается наука".
Необходимо специально остановиться на понятии, которое играло важную роль
не только у Декарта, но и вообще в математике и механике XVII в. Я имею в
виду понятие функции.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143
- что основание для измерения не обязательно должно иметь место в самом
объекте, оно может быть и только мыслимым, т.е. устанавливаться
произвольно; оба эти основания - реальное и только мыслимое, по Декарту,
равноценны. Единицу измерения Декарт определяет как "то всеобщее свойство,
к которому должны быть приобщены все вещи, сравниваемые между собой", - и
такое свойство тоже может приписываться вещам произвольно. "Все те
измерения, которые не имеют основания в вещах, являются созданиями
интеллекта..." Сюда Декарт относит также и определения геометрических
понятий, трактуя, таким образом, интеллект вполне номиналистически - как
способность конструировать понятия в отрыве от реальности. Правда,
интеллект создает понятия не без помощи прирожденного ему естественного
света, и в этом состоит основание значимости его конструктов.
Помимо процедуры измерения, метод включает в себя порядок. Декарт даже
определяет метод как "постоянное соблюдение порядка". Интересен пример,
который приводит Декарт для пояснения того, что такое порядок. Примером
порядка может служить "искусство ткачей и обойщиков, искусство женщин
вязать спицами или переплетать нити тканей в бесконечно разнообразные
узоры". Арифметика, говорит Декарт, родственна именно этому искусству
"переплетения узоров".
Но измерение и порядок составляют также основные процедуры математики, как
ее мыслит Декарт. "К области математики, - пишет он, - относятся только те
науки, в которых рассматривается либо порядок, либо мера, и совершенно
несущественно, будут ли это числа, фигуры, звезды, звуки или что-нибудь
другое, в чем отыскивается эта мера: таким образом, должна существовать
некая общая наука, объясняющая все относящееся к порядку и мере, не входя в
исследование никаких частных предметов, и эта наука должна называться не
иностранным, но старым, уже вошедшим в употребление именем всеобщей
математики, ибо она содержит в себе все то, благодаря чему другие науки
называются частями математики".
Само понятие "mathesis universalis" является вполне традиционным, оно
употреблялось еще Проклом в "Комментарии к Евклиду" и обозначало там
принципы и действия, имеющие силу для всех математических объектов. В XVI
в. некоторые математики, например Росселин и Бомбелли, пользовались этим
понятием Прокла и отождествили "универсальную науку" с алгеброй, которую
они рассматривали как общую аналитическую дисциплину. В качестве всеобщей
математики Декарт рассматривает именно алгебру, которая одна только в
полном смысле удовлетворяет требованию "не входить в изучение никаких
частных предметов". Арифметику и геометрию Декарт стремится как можно более
уподобить алгебре, отходя в этом смысле от того их понимания, которое было
в античности. Алгебра становится для Декарта образцом математической науки
именно потому, что он рассматривает математику как науку об исчислении,
совершенно абстрагируясь от специфики той предметной области, к которой
применяется исчисление. Естественно, что тем самым Декарт в значительной
мере сближает математику как теоретическое знание с логистикой (или
калькуляцией, как ее называли в средние века), т.е. техникой счета, отходя
тем самым от строгого понятия математики, как оно сложилось в классический
период античной науки (с V по III в. до н. э.). Не удивительно, что Декарт
подвергает критике античную математику, отмечая, что доказательства в ней
были достигнуты "скорее благодаря случайности, чем искусству" и относятся
"скорее к зрению и воображению, чем к интеллекту". Тем самым Декарт
зачисляет античную математику в разряд той науки, что еще не
руководствовалась сознательно применяемым методом и развивалась
беспорядочно, продвигаясь ощупью. Почтительное отношение к античной
математике как к непревзойденному образцу строгости и доказательности,
господствовавшее на протяжении всего средневековья и характерное еще для
XV-XVI вв., включая даже и Галилея, сменяется у Декарта высокомерным и
критическим отношением к ней. Правда, он называет имена Паппа и Диофанта,
но именно потому, что Диофант был первым греческим математиком,
использовавшим алгебраические методы, а интересы Паппа больше, чем других
античных математиков, были ориентированы на практическое применение
математики.
Здесь уместно отметить, что часто проводимое историками философии сравнение
Декарта с Платоном на том основании, что оба видели в математике самую
достоверную из наук и считали, что только она может обеспечить базу для
физики, упускает из виду различия между этими мыслителями в понимании как
самой математики, так и ее роли в познании. Во-первых, Платон видел в
математике прежде всего средство к подготовке ума для постижения некой
сверхчувственной реальности - умопостигаемого мира идей, тогда как Декарт
рассматривает ее как средство познания эмпирического мира. Во-вторых,
Платон резко противопоставляет математику как теоретическую науку логистике
как технике вычисления, тогда как Декарт, напротив, сближает эти две сферы,
сравнивая деятельность математика с работой ткача; у Декарта мы нередко
встречаем почти полное отождествление геометра с калькулятором. И, наконец,
Платон считает математику содержательной наукой, поскольку она имеет свой
особый предмет исследования: арифметика - числа и их отношения, а геометрия
- соотношения фигур. Декарт, в отличие от него, убежден, что математика
есть наука формальная, что ее правила и понятия - это создания интеллекта,
не имеющие вне его никакой реальности, и что поэтому математику совершенно
все равно, что "считать": числа, звезды, звуки и т.д. В результате Декарт,
подобно калькуляторам, или счетчикам, предлагает пренебречь строгими
определениями понятий, введенными античной математикой. Так, например,
точку, которую Евклид определяет как "то, что не имеет частей", Декарт
предлагает мыслить как "нечто, обладающее в полном смысле этого слова
протяжением и бесконечным количеством измерений". Поскольку геометрические
фигуры - линии, треугольники, прямоугольники и т.д. - в аналитической
геометрии, созданной Декартом, играют роль знаков, обозначающих совсем
другие связи и отношения, то они легко превращаются в средство для счета и
теряют свое собственное значение, так что, например, прямоугольник и линия,
как указывает Декарт, больше не должны принципиально различаться. "...В
процессе действия часто бывают случаи, когда какой-либо прямоугольник,
после того как он был произведен умножением двух линий, вскоре для другого
действия требуется понимать как линию..."
Конечно, полностью различие между математикой и техникой счета Декарт не
снимает. "...Мы стремимся достичь очевидного и отчетливого познания вещей,
счетчики же не делают этого потому, что удовлетворяются отысканием нужного
им числа, не замечая зависимости его от данных чисел, между тем как только
в этом и заключается наука".
Необходимо специально остановиться на понятии, которое играло важную роль
не только у Декарта, но и вообще в математике и механике XVII в. Я имею в
виду понятие функции.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143