что круг по своему понятийному содержанию и бытию есть не что
иное, как многоугольник с бесконечным количеством сторон. Понятие "предел"
получает здесь положительное значение: предельное значение может быть
определено не иначе как в силу неограниченного процесса приближения.
Незавершенность этого процесса теперь уже не является свидетельством
внутреннего, понятийного недостатка, а, напротив, является доказательством
его силы и своеобразия: разум может осознать свои возможности только в
бесконечном объекте, в безграничном процессе".
Трудно, однако, согласиться с Кассирером в том, что "незавершимость этого
процесса теперь уже не является свидетельством... понятийного недостатка,
а, напротив, является доказательством его силы". Это уже истолкование
философии Кузанца в духе неокантианской теории познания, с точки зрения
которой бесконечный процесс приближения к истине свидетельствует о мощи
человеческого разума. В отличие от кантианцев, Кузанец не считал, что
высшим началом бытия является бесконечное становление, а бесконечное
приближение к Богу - это и есть единственная форма бытия самого Бога. Такое
истолкование есть результат уже очень далеко зашедшего процесса
секуляризации. Кузанец же, напротив, видит в невозможности постижения
Абсолюта слабость, а не мощь познающего разума. Как отмечает Рудольф
Хаубст, "для Кузанца ведь еще не существовало... враждебного противостояния
подчеркнуто автономного философского мышления христианской вере и
христианской теологии". Поэтому, рассматривая познание как нескончаемое
движение, Кузанец видел в этом не его преимущество, как Кассирер, а скорее
именно его недостаток. Так же точно, как и в невозможности перейти от
познания конечного мира к познанию бесконечного Бога, поскольку последний
как раз и был той реальностью, которая прежде всего и занимала Николая
Кузанского.
Кузанец отлично понимает, что введенный им принцип совпадения
противоположностей - единого и бесконечного, минимума и максимума -
отменяет, если говорить строго, математическую науку, как, впрочем, и
вообще все точное знание в том смысле, как его понимала античность и
средние века. "Если тебя спросят, - пишет он, - почему у любого
треугольника две стороны в сумме больше третьей, или почему у квадрата
квадрат диагонали вдвое больше квадрата стороны, или почему квадрат стороны
треугольника, противоположной прямому углу, равен сумме квадратов других
сторон и так далее, ты ответишь: на путях рассудка это необходимо потому,
что иначе получилось бы совпадение противоречивого".
Математика, по убеждению Кузанца, есть продукт деятельности рассудка;
рассудок как раз и выражает свой основной принцип в виде запрета
противоречия, т.е. запрета совмещать противоположности. Этот главный закон
рассудка, сформулированный Аристотелем, согласно Николаю Кузанскому,
составляет фундамент евклидовых "Начал", в которых подытожено развитие
древнегреческой математики на протяжении нескольких веков. "Я как-то
попытался доказать, - пишет Николай, - что соизмеримость диаметра и
окружности недостижима и недопустима из-за необходимости избегать
вышесказанного совпадения (имеется в виду совпадение противоположностей. -
П.Г.), и внезапно понял, чту в геометрии подлежит утверждению и чту
отрицанию; как в понятиях души, так и во всех доказательствах Евклида или
чьих бы то ни было при разнообразии фигур я обнаружил эту единственную
причину всего". К "общим понятиям души" Кузанец относит не только аксиомы,
но также и постулаты, и определения, не различая между собой эти три группы
допущений.
Согласно Кузанцу, аксиомы, так же как и базирующиеся на них доказательства,
являются тем "забором", с помощью которого рассудок заботливо отгородил
свою территорию от тех противоречий, которые могли бы взорвать все
возводимое им здание науки. И в самом деле, если проследить историю
становления античной математики, тесно связанную с развитием античной
философии и логики, то можно заметить, как некоторые важнейшие аксиомы
геометрии возникают из стремления преодолеть те противоречия, которые
влекут за собой допущение понятия актуальной бесконечности, и тем самым
создать предпосылки для построения непротиворечивой системы знания. Такова,
например, аксиома Евдокса, известная также под именем аксиомы Архимеда и
составляющая одно из важнейших допущений, без которых была бы невозможна
евклидова геометрия. Вот как формулируется аксиома Евдокса в виде IV
определения V книги "Начал": "Говорят, что величины имеют отношение между
собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга". С помощью этой
аксиомы Евклид хочет найти возможность устанавливать отношения не только
между соизмеримыми, но и между несоизмеримыми отрезками (величинами) и тем
самым нейтрализовать те затруднения, которые были порождены открытием
несоизмеримости. Но, как отмечает В. Вилейтнер, аксиома Евдокса у Евклида
решает и еще одну задачу, а именно: "Евклид хочет лишить права находиться в
отношении "бесконечно малые" и "бесконечно большие" образы, как, например,
введенные уже древними философами (Демокрит) последние частицы (атомы,
неделимые) отрезка или же всю бесконечную прямую". Греческим математикам
были известны так называемые роговидные углы, т.е. углы, образованные
окружностью и касательной (или же двумя кривыми). Но криволинейные и
прямолинейные углы не находятся между собой ни в каком отношении -
роговидный угол всегда меньше любого угла. Иначе говоря, "роговидные углы
по отношению к любому прямолинейному являются актуальными бесконечно
малыми, или неархимедовыми, величинами". Аксиома Евдокса оказывается
непосредственно связанной с необходимостью избежать парадоксов актуально
бесконечного, которые были выявлены Зеноном и вызвали стремление избежать
их не только у математиков - Евдокса, Евклида, Архимеда, но и у Аристотеля,
положившего принцип непрерывности (аналогичный аксиоме непрерывности
Евдокса) в основу античной физики.
Как видим, намерения Николая Кузанского радикальны: он не просто ставит под
сомнение основательность того фундамента, на котором строилась греческая
математика и физика, - он убежден, что этот фундамент построен не с помощью
высшей способности - интеллекта, но с помощью низшей - рассудка, а потому
подлежит пересмотру. Николай Кузанский вновь возвращает нас к Зенону с его
парадоксами бесконечности, с тем, однако, различием, что Зенон видел в
парадоксах орудие разрушения (ложного знания), а Кузанец видит в парадоксе
средство созидания, с помощью которого можно заново создать фундамент
человеческого знания (правда, само это знание имеет парадоксальный характер
- оно есть "умудренное неведение"). "Если исследуешь математику, - пишет
он, - устанавливай одно более интеллектуальное (математическое) искусство,
другое - как бы чувственное, а среднее - как бы рассудочное. То же в
арифметике, то же в геометрии, то же в музыке".
Критикуя тех, кто возводит в высшую норму мышления законы рассудка, Кузанец
чаще всего имеет в виду Аристотеля и перипатетиков. И в самом деле,
Аристотель сделал очень много для того, чтобы создать научное знание - т.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143
иное, как многоугольник с бесконечным количеством сторон. Понятие "предел"
получает здесь положительное значение: предельное значение может быть
определено не иначе как в силу неограниченного процесса приближения.
Незавершенность этого процесса теперь уже не является свидетельством
внутреннего, понятийного недостатка, а, напротив, является доказательством
его силы и своеобразия: разум может осознать свои возможности только в
бесконечном объекте, в безграничном процессе".
Трудно, однако, согласиться с Кассирером в том, что "незавершимость этого
процесса теперь уже не является свидетельством... понятийного недостатка,
а, напротив, является доказательством его силы". Это уже истолкование
философии Кузанца в духе неокантианской теории познания, с точки зрения
которой бесконечный процесс приближения к истине свидетельствует о мощи
человеческого разума. В отличие от кантианцев, Кузанец не считал, что
высшим началом бытия является бесконечное становление, а бесконечное
приближение к Богу - это и есть единственная форма бытия самого Бога. Такое
истолкование есть результат уже очень далеко зашедшего процесса
секуляризации. Кузанец же, напротив, видит в невозможности постижения
Абсолюта слабость, а не мощь познающего разума. Как отмечает Рудольф
Хаубст, "для Кузанца ведь еще не существовало... враждебного противостояния
подчеркнуто автономного философского мышления христианской вере и
христианской теологии". Поэтому, рассматривая познание как нескончаемое
движение, Кузанец видел в этом не его преимущество, как Кассирер, а скорее
именно его недостаток. Так же точно, как и в невозможности перейти от
познания конечного мира к познанию бесконечного Бога, поскольку последний
как раз и был той реальностью, которая прежде всего и занимала Николая
Кузанского.
Кузанец отлично понимает, что введенный им принцип совпадения
противоположностей - единого и бесконечного, минимума и максимума -
отменяет, если говорить строго, математическую науку, как, впрочем, и
вообще все точное знание в том смысле, как его понимала античность и
средние века. "Если тебя спросят, - пишет он, - почему у любого
треугольника две стороны в сумме больше третьей, или почему у квадрата
квадрат диагонали вдвое больше квадрата стороны, или почему квадрат стороны
треугольника, противоположной прямому углу, равен сумме квадратов других
сторон и так далее, ты ответишь: на путях рассудка это необходимо потому,
что иначе получилось бы совпадение противоречивого".
Математика, по убеждению Кузанца, есть продукт деятельности рассудка;
рассудок как раз и выражает свой основной принцип в виде запрета
противоречия, т.е. запрета совмещать противоположности. Этот главный закон
рассудка, сформулированный Аристотелем, согласно Николаю Кузанскому,
составляет фундамент евклидовых "Начал", в которых подытожено развитие
древнегреческой математики на протяжении нескольких веков. "Я как-то
попытался доказать, - пишет Николай, - что соизмеримость диаметра и
окружности недостижима и недопустима из-за необходимости избегать
вышесказанного совпадения (имеется в виду совпадение противоположностей. -
П.Г.), и внезапно понял, чту в геометрии подлежит утверждению и чту
отрицанию; как в понятиях души, так и во всех доказательствах Евклида или
чьих бы то ни было при разнообразии фигур я обнаружил эту единственную
причину всего". К "общим понятиям души" Кузанец относит не только аксиомы,
но также и постулаты, и определения, не различая между собой эти три группы
допущений.
Согласно Кузанцу, аксиомы, так же как и базирующиеся на них доказательства,
являются тем "забором", с помощью которого рассудок заботливо отгородил
свою территорию от тех противоречий, которые могли бы взорвать все
возводимое им здание науки. И в самом деле, если проследить историю
становления античной математики, тесно связанную с развитием античной
философии и логики, то можно заметить, как некоторые важнейшие аксиомы
геометрии возникают из стремления преодолеть те противоречия, которые
влекут за собой допущение понятия актуальной бесконечности, и тем самым
создать предпосылки для построения непротиворечивой системы знания. Такова,
например, аксиома Евдокса, известная также под именем аксиомы Архимеда и
составляющая одно из важнейших допущений, без которых была бы невозможна
евклидова геометрия. Вот как формулируется аксиома Евдокса в виде IV
определения V книги "Начал": "Говорят, что величины имеют отношение между
собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга". С помощью этой
аксиомы Евклид хочет найти возможность устанавливать отношения не только
между соизмеримыми, но и между несоизмеримыми отрезками (величинами) и тем
самым нейтрализовать те затруднения, которые были порождены открытием
несоизмеримости. Но, как отмечает В. Вилейтнер, аксиома Евдокса у Евклида
решает и еще одну задачу, а именно: "Евклид хочет лишить права находиться в
отношении "бесконечно малые" и "бесконечно большие" образы, как, например,
введенные уже древними философами (Демокрит) последние частицы (атомы,
неделимые) отрезка или же всю бесконечную прямую". Греческим математикам
были известны так называемые роговидные углы, т.е. углы, образованные
окружностью и касательной (или же двумя кривыми). Но криволинейные и
прямолинейные углы не находятся между собой ни в каком отношении -
роговидный угол всегда меньше любого угла. Иначе говоря, "роговидные углы
по отношению к любому прямолинейному являются актуальными бесконечно
малыми, или неархимедовыми, величинами". Аксиома Евдокса оказывается
непосредственно связанной с необходимостью избежать парадоксов актуально
бесконечного, которые были выявлены Зеноном и вызвали стремление избежать
их не только у математиков - Евдокса, Евклида, Архимеда, но и у Аристотеля,
положившего принцип непрерывности (аналогичный аксиоме непрерывности
Евдокса) в основу античной физики.
Как видим, намерения Николая Кузанского радикальны: он не просто ставит под
сомнение основательность того фундамента, на котором строилась греческая
математика и физика, - он убежден, что этот фундамент построен не с помощью
высшей способности - интеллекта, но с помощью низшей - рассудка, а потому
подлежит пересмотру. Николай Кузанский вновь возвращает нас к Зенону с его
парадоксами бесконечности, с тем, однако, различием, что Зенон видел в
парадоксах орудие разрушения (ложного знания), а Кузанец видит в парадоксе
средство созидания, с помощью которого можно заново создать фундамент
человеческого знания (правда, само это знание имеет парадоксальный характер
- оно есть "умудренное неведение"). "Если исследуешь математику, - пишет
он, - устанавливай одно более интеллектуальное (математическое) искусство,
другое - как бы чувственное, а среднее - как бы рассудочное. То же в
арифметике, то же в геометрии, то же в музыке".
Критикуя тех, кто возводит в высшую норму мышления законы рассудка, Кузанец
чаще всего имеет в виду Аристотеля и перипатетиков. И в самом деле,
Аристотель сделал очень много для того, чтобы создать научное знание - т.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143