Что отождествление Галилеем "бесконечного" и "неделимого" восходит к
совпадению "максимума" и "минимума" Николая Кузанского, нетрудно убедиться
еще на одном примере. Опять-таки с помощью математического рассуждения
Галилей пытается доказать тезис Кузанца о тождестве единого и бесконечного.
Галилей считает само собой разумеющимся, что квадратов целых чисел должно
быть столько же, сколько существует самих этих чисел, так как каждый
квадрат имеет свой корень и каждый корень - свой квадрат. А между тем "всех
чисел больше, чем квадратов, так как большая часть их не квадраты.
Действительно, число квадратов непрерывно и в весьма большой пропорции
убывает по мере того, как мы переходим к большим числам; так, из числа до
ста квадратами являются десять, то есть одна десятая часть; до десяти тысяч
квадратами будут лишь одна сотая часть; до одного миллиона - только одна
тысячная часть. А в отношении бесконечного числа, если бы только мы могли
постичь его, мы должны были бы сказать, что квадратов столько же, сколько
всех чисел".
В результате этого рассуждения Галилей делает неожиданный вывод:
"...продолжая деление и, умножая число частей в предположении приблизиться
к бесконечности, мы на самом деле удаляемся от нее... Мы видели... что чем
к большим числам мы переходим, тем реже попадаются в них квадраты и еще
реже - кубы; отсюда ясно, что, переходя к большим числам, мы все более
удаляемся от бесконечного числа; отсюда можно вывести заключение... что
если какое-либо число должно являться бесконечностью, то этим числом должна
быть единица; в самом деле, в ней мы находим условия и необходимые
признаки, которым должно удовлетворять бесконечно большое число, поскольку
она содержит в себе столько же квадратов, сколько кубов и сколько чисел
вообще".
Это доказательство Галилея, где наиболее наглядно видна глубокая связь его
со способом мышления Николая Кузанского, а именно с его диалектикой
"совпадения противоположностей", опять-таки представляет собой парадокс.
Единица в понимании античных математиков и философов не являлась числом, а
рассматривалась как "начало числа", или "принцип числа"; она есть
математический "представитель" того самого единого, которое, в конечном
счете, непостижимо. Единица, или единое, порождает все числа при соединении
с противоположным ему началом - беспредельным. Ни сама единица, ни
беспредельное не суть числа, как поясняли пифагорейцы: первым числом у них
является тройка (ибо двойка - это тоже еще не число, а символ
беспредельного).
У Галилея, как и у Николая Кузанского, единое и беспредельное оказываются
тождественными, и единица, таким образом, есть бесконечное. При этом
Галилей, подобно Кузанцу, мыслит бесконечность как актуальную. Сам пример,
приведенный Галилеем, представляющий собой утверждение о том, что множество
квадратов равномощно множеству всех натуральных чисел, предвосхищает
положения теории множеств Георга Кантора.
Галилей прекрасно понимает, что понятие актуальной бесконечности не может
быть получено на том пути, на котором мы приходим к понятию бесконечности
потенциальной; то действие, которое мы осуществляем, деля, допустим,
отрезок пополам, затем на четыре части, на восемь частей и т.д. до
бесконечности, никогда не приведет нас к получению актуально бесконечного
множества, ибо "такой процесс постепенного деления конечных величин
необходимо было бы продолжать вечно; достигнуть же таким путем приближения
к неделимым в конечный период времени совершенно невозможно".
Конечная величина, подчеркивает Галилей, не может никогда превратиться в
актуально бесконечную путем постепенного ее увеличения: как замечает
Галилей, идя этим путем, мы удаляемся от актуальной бесконечности. Между
конечным и актуально бесконечным - непереходимый рубеж; как выражается
Галилей, можно обнаружить своеобразное "противодействие природы, которое
встречает конечная величина при переходе в бесконечность". Галилей приводит
и пример такого "противодействия природы": если мы будем увеличивать радиус
круга, то длина окружности будет также увеличиваться, однако это будет
происходить только до тех пор, пока радиус будет оставаться как угодно
большой, но конечной величиной. При переходе к актуально бесконечному
радиусу (когда круг становится "большим из всех возможных") круг исчезает и
на его месте появляется бесконечная прямая. Ясно, продолжает Галилей, что
"не может быть бесконечного круга; отсюда как следствие вытекает, что не
может быть ни бесконечного шара, ни другого бесконечного тела, ни
бесконечной поверхности". Галилеев пример, как видим, заимствован у Николая
Кузанского и должен пояснить то же, что пояснял и Кузанец: принципиальное
различие между потенциальной бесконечностью, которая всегда связана с
конечным (хотя и как угодно большим) числом, телом, временем, пространством
и т.д., и бесконечностью актуальной, которая предполагает переход в иной
род, изменение сущности, а не количества.
Попутно мы можем видеть, почему античная наука, понятия которой были
теснейшим образом связаны со свойствами круга (и в математике, и в физике),
не могла допустить актуальной бесконечности и нашла способы избегать его,
тем самым освобождаясь от парадоксов, неизбежно сопровождающих это понятие.
Коль скоро Галилей вводит понятие актуальной бесконечности, он принимает и
все те следствия, которые с необходимостью вытекают из этого
понятия-парадокса. Так, к понятию актуально бесконечного неприменимы
предикаты "больше", "меньше" или "равно". "...Такие свойства, - говорит
Сальвиати, - как большая или меньшая величина и равенство, неприменимы к
бесконечному, относительно которого нельзя сказать, что одна бесконечность
больше или меньше другой или равна ей". Это почти цитата из Николая
Кузанского, многократно подчеркивавшего, что к бесконечному неприменимы те
определения, которыми пользуется наш рассудок, имея дело с конечными
вещами. При переходе к актуальной бесконечности теряют свою силу все то
допущения и операции, на которых до сих пор стояла математика. Актуально
бесконечные множества, говорит Галилей, содержатся как в отрезке любой
конечной длины, так и в бесконечной линии, - ибо могут ли быть равными
бесконечности? Именно такое допущение делает Сагредо: "На основании
изложенного, - замечает он, - мне кажется, нельзя утверждать не только
того, что одно бесконечное больше другого бесконечного, но даже и того, что
оно больше конечного". Ход мысли здесь понятен: поскольку в любом конечном
отрезке, как бы мал он ни был, лишенных величины точек обязательно будет
бесконечное число, то на этом основании он должен быть так же точно
причислен к бесконечному, как и бесконечная линия. Вот почему Сальвиати
соглашается с Сагредо: "...понятия "больший", "меньший", "равный" не имеют
места не только между бесконечно большими, но и между бесконечно большим и
конечным".
Трудно более определенно сформулировать исходные предпосылки, которые были
бы в противоречии не только с физикой и метафизикой Аристотеля, но и с
математикой Евдокса - Евклида - Архимеда, т.е. в противоречии с
методологическими основаниями античной науки в целом.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143