К со-
жалению, в основном преподавание математики носит
именно такой характер. Ребенка учат не понима-
рию математической закономерности, а, скорее, приме-
рению некоторых схем и приемов, не объясняя при
ртом их смысла и взаимной связи и не изменяя мате-
риала в соответствии со способом мышления ребен-
Жа. На основе таких неадекватных приемов ребенок
легко приходит к убеждению, что самое важное - это
точность, хотя последняя имеет значительно больше
фбщого с вычислением, чем с математикой. Самым пора-
вительным примером такого положения в преподавании
является, вероятно, первое знакомство школьников с
евклидовой геометрией. Они знакомятся с ней впервые
как с системой аксиом и теорем, не имея ни малейшего
представления о простых геометрических фигурах и
способах обращения с ними. Если бы на ранних стадиях
обучения ребенок получил некоторые понятия и стратегии
ца доступном для него уровне в форме интуитивной геи-
трии, он был бы гораздо лучше подготовлен к понима-
дию глубокого смысла тех теорем и аксиом, которые
будут ему преподаны впоследствии.
Но ход умственного развития ребенка представляет
собой не просто часовой механизм последовательности
событий - он одроделяется также и различными влия-
ниями среды, особенно школьной. Поэтому преподавании
осноз наук, даже на элементарном уровне, не должно
слепо следовать естественному ходу познавательного раз-
вития ребенка. Преподавание может стать даже ведущим
фактором этого развития, предоставляя ученику заман-
чивые и вполне осуществимые возможности самому
форсировать свое развитие. Опыт доказывает полезность
постановки перед ребенком таких задач, которые поощ-
ряют его к переходу на следующие стадии развития. Вот
что говорит об этом один из видных и опытных препода-
вателей элементарной математики Д. Пэвдж:.
364
<Имея самый разнообразный опыт преподавания - от детско-
го сада до аспирантуры,- я не раз поражался интеллектуальному
сходству людей разных возрастов. И все же дети обнаруживают
больше спонтанности, энергии и творчества, чем взрослые. Насколь-
ко я знаю, малыши почти любое явление усваивают быстрее взрос-
лых, если оно объяснено в доступной для них форме. Выяснилось,
что для такого рода изложения материала учитель сам должен хо-
рошо знать математику, и чем лучше он ее знает, тем выше резуль-
тат преподавания. Не следует торопиться с установлением абсолют-
ных пределов трудности той или иной темы. Когда я говорю матема-
тикам, что четвероклассники вполне способны усвоить <теорию мно-
экеств>, лишь некоторые из них соглашаются с этим. Большинство
же с возмущением отвергает такую возможность. Последние со-
вершенно неправы, полагая, что <теория множеств> трудна по су-
ществу. Вполне возможно, что тем, трудных по существу, вообще
не существует. Мы просто должны дождаться того момента, когда
в сознании учащегося проявится надлежащая точка зрения и соот-
ветствующий для ее изложения язык. Что же касается определен-
ного понятия или темы, всегда можно сформулировать просто
некоторые исходные вопросы или подвести ученика к тому, чтобы
он задал их сам. Нетрудно также поставить такие вопросы, ко-
торые он не в состоянии решить. Все дело в том, чтобы вопрос был
средней степени трудности, посильным для решения. В этом и
состоит задача учителя и учебных пособий>.
С помощью умело сформулированных вопросов сред-
ней трудности учитель побуждает ребенка к ускоренному
переходу от одной стадии умственного развития к другой,
способствуя тем самым более глубокому пониманию прин-
ципов математики, физики или истории. Познакомимся
поближе со способами, которые при этом применяются,
Б. Инхельдер попросили поделиться своими мыслями
о том, какими методами можно ускорить достижение
ребенком различных стадий развития в освоении физико-
математических наук. Ниже приводится отрывок из мемо-
рандума, составленного ею для конференции в Вудс-Хоул,
<Наиболее элементарные формы суждения - будь то в логике,
арифметике, геометрии или физике - основаны на принципе инва-
риантности количества: целое остается самим собой, как бы ни пере-
распределялись его части, ни изменялась его форма или его поло-
жение в пространстве и времени. Принцип инвариантности не явля-
ется априорным постулатом сознания, так же как не является чисти
эмпирическим продуктом наблюдения. Ребенок приходит к нему
примерно тем же путем, как наука приходит к своим открытиям.
Усвоение понятия инвариантности связано для него с многочислен-
ными трудностями, о которых учитель порой и не догадывается.
По мнению ребенка, числовые величины, пространственное протя-
жение и физические величины не остаются постоянными, а расши-
ряются и сокращаются в ходе производимых с ними операций.
Труднее всего для ребенка осознать, что общее число шариков в ко-
365
робке сохраняется, разделим ли мы их на две, три или десять частой.
Малыш воспринимает всякое изменение как одностороннее, посколь-
ку он неспособен понять, что некоторые основные свойства предме-
тов остаются постоянными при любых изменениях; если же свой-
ства изменяются, то эти изменения обратимы.
Несколько примеров из числа тех, с которыми мы столкнулись
при исследовании понятия инвариантности у ребенка, покажут
нам, какого рода материал можно использовать, чтобы обеспе-
чить лучшее усвоение этого понятия. Ребенок переносит известное
количество шариков или известный объем жидкости из одного со-
суда в другой. Один из сосудов высокий и узкий, другой - плоский
и широкий. Малыш уверен, что в первом сосуде вещества больше,
чем во втором. В этой ситуации нетрудно дать ему конкретное пред-
ставление о сущности однозначного соответствия между двумя раз-
личными состояниями одного и того же количества вещества. Для
итого существует простая техника контроля: пересчет шариков или
стандартные способы измерения объема жидкости. Аналогичные
операции используются при усвоении понятия сохранения простран-
ственных размеров; при этом длина измеряется палочками, а по-
верхность - плитками. Ребенок может также менять форму фи-
гур, используя постоянное число кубиков. В физике подобный же
дидактический эффект даст деформация пластилиновых шариков или
растворение сахара, происходящие с сохранением объема. Если учи-
телю не удается заменить основанные на восприятии первоначаль-
ные представления ребенка соответствующим понятием инг-ариант-
иости количества, результат окажется тот, что ребенок будет про-
изводить вычисления, не владея этим понятием. Возможно также,
что он будет делать геометрические измерения, не ведая о правиле
транзитивности: если А включает В, а В включает (7, то и А вклю-
чает С. В физике ребенок будет производить расчеты с неверно по-
нятыми величинами веса, объема, времени и скорости. Метод
обучения, учитывающий естественную природу мыслительных про-
цессов, должен давать ребенку возможность самому открыть прин-
ципы инвариантности, помогая ему выйти за проделы его примитив-
ного способа мышления в результате столкновения с некоторыми
конкретными данными, как, например, в случае с двумя стаканами
жидкости, когда он на практике убеждался, что данное количество
жидкости в стаканах разной величины и формы в действительности
остается одними тем же.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119
жалению, в основном преподавание математики носит
именно такой характер. Ребенка учат не понима-
рию математической закономерности, а, скорее, приме-
рению некоторых схем и приемов, не объясняя при
ртом их смысла и взаимной связи и не изменяя мате-
риала в соответствии со способом мышления ребен-
Жа. На основе таких неадекватных приемов ребенок
легко приходит к убеждению, что самое важное - это
точность, хотя последняя имеет значительно больше
фбщого с вычислением, чем с математикой. Самым пора-
вительным примером такого положения в преподавании
является, вероятно, первое знакомство школьников с
евклидовой геометрией. Они знакомятся с ней впервые
как с системой аксиом и теорем, не имея ни малейшего
представления о простых геометрических фигурах и
способах обращения с ними. Если бы на ранних стадиях
обучения ребенок получил некоторые понятия и стратегии
ца доступном для него уровне в форме интуитивной геи-
трии, он был бы гораздо лучше подготовлен к понима-
дию глубокого смысла тех теорем и аксиом, которые
будут ему преподаны впоследствии.
Но ход умственного развития ребенка представляет
собой не просто часовой механизм последовательности
событий - он одроделяется также и различными влия-
ниями среды, особенно школьной. Поэтому преподавании
осноз наук, даже на элементарном уровне, не должно
слепо следовать естественному ходу познавательного раз-
вития ребенка. Преподавание может стать даже ведущим
фактором этого развития, предоставляя ученику заман-
чивые и вполне осуществимые возможности самому
форсировать свое развитие. Опыт доказывает полезность
постановки перед ребенком таких задач, которые поощ-
ряют его к переходу на следующие стадии развития. Вот
что говорит об этом один из видных и опытных препода-
вателей элементарной математики Д. Пэвдж:.
364
<Имея самый разнообразный опыт преподавания - от детско-
го сада до аспирантуры,- я не раз поражался интеллектуальному
сходству людей разных возрастов. И все же дети обнаруживают
больше спонтанности, энергии и творчества, чем взрослые. Насколь-
ко я знаю, малыши почти любое явление усваивают быстрее взрос-
лых, если оно объяснено в доступной для них форме. Выяснилось,
что для такого рода изложения материала учитель сам должен хо-
рошо знать математику, и чем лучше он ее знает, тем выше резуль-
тат преподавания. Не следует торопиться с установлением абсолют-
ных пределов трудности той или иной темы. Когда я говорю матема-
тикам, что четвероклассники вполне способны усвоить <теорию мно-
экеств>, лишь некоторые из них соглашаются с этим. Большинство
же с возмущением отвергает такую возможность. Последние со-
вершенно неправы, полагая, что <теория множеств> трудна по су-
ществу. Вполне возможно, что тем, трудных по существу, вообще
не существует. Мы просто должны дождаться того момента, когда
в сознании учащегося проявится надлежащая точка зрения и соот-
ветствующий для ее изложения язык. Что же касается определен-
ного понятия или темы, всегда можно сформулировать просто
некоторые исходные вопросы или подвести ученика к тому, чтобы
он задал их сам. Нетрудно также поставить такие вопросы, ко-
торые он не в состоянии решить. Все дело в том, чтобы вопрос был
средней степени трудности, посильным для решения. В этом и
состоит задача учителя и учебных пособий>.
С помощью умело сформулированных вопросов сред-
ней трудности учитель побуждает ребенка к ускоренному
переходу от одной стадии умственного развития к другой,
способствуя тем самым более глубокому пониманию прин-
ципов математики, физики или истории. Познакомимся
поближе со способами, которые при этом применяются,
Б. Инхельдер попросили поделиться своими мыслями
о том, какими методами можно ускорить достижение
ребенком различных стадий развития в освоении физико-
математических наук. Ниже приводится отрывок из мемо-
рандума, составленного ею для конференции в Вудс-Хоул,
<Наиболее элементарные формы суждения - будь то в логике,
арифметике, геометрии или физике - основаны на принципе инва-
риантности количества: целое остается самим собой, как бы ни пере-
распределялись его части, ни изменялась его форма или его поло-
жение в пространстве и времени. Принцип инвариантности не явля-
ется априорным постулатом сознания, так же как не является чисти
эмпирическим продуктом наблюдения. Ребенок приходит к нему
примерно тем же путем, как наука приходит к своим открытиям.
Усвоение понятия инвариантности связано для него с многочислен-
ными трудностями, о которых учитель порой и не догадывается.
По мнению ребенка, числовые величины, пространственное протя-
жение и физические величины не остаются постоянными, а расши-
ряются и сокращаются в ходе производимых с ними операций.
Труднее всего для ребенка осознать, что общее число шариков в ко-
365
робке сохраняется, разделим ли мы их на две, три или десять частой.
Малыш воспринимает всякое изменение как одностороннее, посколь-
ку он неспособен понять, что некоторые основные свойства предме-
тов остаются постоянными при любых изменениях; если же свой-
ства изменяются, то эти изменения обратимы.
Несколько примеров из числа тех, с которыми мы столкнулись
при исследовании понятия инвариантности у ребенка, покажут
нам, какого рода материал можно использовать, чтобы обеспе-
чить лучшее усвоение этого понятия. Ребенок переносит известное
количество шариков или известный объем жидкости из одного со-
суда в другой. Один из сосудов высокий и узкий, другой - плоский
и широкий. Малыш уверен, что в первом сосуде вещества больше,
чем во втором. В этой ситуации нетрудно дать ему конкретное пред-
ставление о сущности однозначного соответствия между двумя раз-
личными состояниями одного и того же количества вещества. Для
итого существует простая техника контроля: пересчет шариков или
стандартные способы измерения объема жидкости. Аналогичные
операции используются при усвоении понятия сохранения простран-
ственных размеров; при этом длина измеряется палочками, а по-
верхность - плитками. Ребенок может также менять форму фи-
гур, используя постоянное число кубиков. В физике подобный же
дидактический эффект даст деформация пластилиновых шариков или
растворение сахара, происходящие с сохранением объема. Если учи-
телю не удается заменить основанные на восприятии первоначаль-
ные представления ребенка соответствующим понятием инг-ариант-
иости количества, результат окажется тот, что ребенок будет про-
изводить вычисления, не владея этим понятием. Возможно также,
что он будет делать геометрические измерения, не ведая о правиле
транзитивности: если А включает В, а В включает (7, то и А вклю-
чает С. В физике ребенок будет производить расчеты с неверно по-
нятыми величинами веса, объема, времени и скорости. Метод
обучения, учитывающий естественную природу мыслительных про-
цессов, должен давать ребенку возможность самому открыть прин-
ципы инвариантности, помогая ему выйти за проделы его примитив-
ного способа мышления в результате столкновения с некоторыми
конкретными данными, как, например, в случае с двумя стаканами
жидкости, когда он на практике убеждался, что данное количество
жидкости в стаканах разной величины и формы в действительности
остается одними тем же.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119