\Вw\А_2= {i, j},
1\Д<\Аi, j\Д<\Аn, алгебры событий \ВS\А_2 = 2^\ВW\А 2 и равномерного распределения:
P_2(\Вw\А_2) = 1/n^2 для любого \Вw\А_2\ВEW\А_2.
Поскольку мера P_2 не зависит от \Вw\А_1, то итоговое
вероятностное пространство (\ВW\А, \ВS\А, P) является произведением
пространств (\ВW\А_1, \ВS\А_1, P_1) и (\ВW\А_2, \ВS\А_2, P_2):
\ВW\А = \ВW\А_1\Иx\ВW\А_2; \ВS\А=2^\ВW\А; P(\Вw\А)=P(\Вw\А_1, \Вw\А_2)=P_1(\Вw\А_1)\Иx\АP_2(\Вw\А_2).
На вероятностном пространстве (\ВW\А, \ВS\А, P) определена случайная
величина \Вз\А:
\Вз\А((\Вw\А)=\Вз\А(\Вw\А_1, \Вw\А_2)=\Вз\А(\Вw\А_2).
Пусть A -- некоторое событие из \ВS\А. Сформулируем
предположение о вероятностной мере P_1 (то есть о вероятностном
механизме образования порядка имен в правильном хронологическом
списке).
ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ. Предположим, что случайная величина \Вз\А не
зависит от события A:
P{\Вз\А=x|A} = P{\Вз\А=x} для всех x.
Никаких других условий на меру P_1 мы накладывать не будем.
Сделанное предположение зависит от выбора события A. Если в
качестве A выбрать локальное событие (определение локальных
событий дано выше), то это предположение вытекает (для
правильного хронологического списка) из сформулированного выше
следствия гипотезы Н_0: P{\Вз\А=x|A, \Вз\Д>\Ве\А} = P{\Вз\А=x|\Вз\Д>\Ве\А}, где \Ве\А -
радиус затухания зависимости в списке Х.
Здесь мы без ограничения общности будем считать, что \Ве\А=0.
Общий случай сводится к этому простой модификацией вероятностой
схемы (\ВW\А_2, \ВS\А_2, P_2).
p3'3'1
Глава 3. МАТРИЦЫ СВЯЗЕЙ ДЛЯ ХРОНОЛОГИЧЕСКИХ СПИСКОВ ИМЕН
1. КАК УЗНАТЬ -- КАКИЕ ИМЕННО ЧАСТИ ЛЕТОПИСИ
ЯВЛЯЮТСЯ ДУБЛИКАТАМИ?
В предудущей главе с помощью гистограмм частот разнесений
связанных имен проверялась гипотеза об отсутствии дубликатов в
данном хронологическом списке имен.
В тех случаях, когда присутствие дубликатов было обнаружено,
определялись типичные сдвиги между дубликатами в списке. Однако
метод гистограмм частот связанных имен не дает прямого ответа на
следующий основной вопрос:
КАКИЕ ИМЕННО ЧАСТИ СПИСКА ЯВЛЯЮТСЯ ДУБЛИКАТАМИ И В КАКОЙ
МЕРЕ?
Напомним, что в соответствии с понятием слоистой хроники,
два отрезка хронологического списка называются ДУБЛИКАТАМИ, если
они содержат соответственно ДУБЛИРУЮЩИЕ ДРУГ ДРУГА СЛОИ.
В данной главе мы опишем метод, позволяющий отвечать на этот
вопрос. Результатом его применения к историческому
хронологическому списку будет являться так называемая "МАТРИЦА
СВЯЗЕЙ" (фрагментов) данного списка. Это -- КВАДРАТНАЯ ТАБЛИЦА,
показывающая в какой мере те или иные отрезка списка имен
являются дубликатами друг друга ("связаны" между собой).
Мы уже вкратце описали идею метода, пользуясь модельной
задачей о колоде карт (см. главу 1). Проведем теперь эти
рассуждения уже не для модельной задачи, а для РЕАЛЬНЫХ
хронологических списков.
Пусть имеется список имен Х, который может содержать ошибки,
пропуски и (или) дубликаты.
НЕИЗВЕСТНЫЙ НАМ ИСТИННЫЙ СПИСОК ИМЕН, лежащий в основе
реального списка Х, обозначим через Y. Таким образом, Y -
ВООбРАЖАЕМЫЙ список имен, содержащий полные неискаженные данные
(скажем, об именах правителей данного государства) для
длительного исторического промежутка времени I_Y.
РЕАЛЬНЫЙ список имен Х, который находится в нашем
распоряжении является ИСКАЖЕНИЕМ, "зашумлением" списка Y с
возможной потерей доли информации.
Предположим, что промежуток времени I_Y был описан МНОГИМИ
летописцами -- очевидцами или современниками происходящих
событий.
Каждый из них составлял свою короткую летопись Z_i по
современным ему событиям. Поскольку мы изучаем сейчас не весь
текст летописи, а только имена, извлеченные из нее, то можем
считать (для удобства), что каждый летописец составлял некий
короткий хронологический список имен, который мы также обозначим
через Z_i.
Если промежуток времени I_Y описывался K летописцами, то в
основе наших знаний о события, происходивших на этом промежутке,
лежит K коротких летописей Z_1, Z_2,..., Z_K (включая и утраченные
летописи). Множество этих летописей (коротких хронологических
списков имен) мы обозначим через {Z_i}.
Множество {Z_i} образует некоторое покрытие списка Y.
Это покрытие мы будем считать:
а) Достаточно плотным, то есть предположим, что каждый
отдельный год из промежутка I_Y описывался не одним, а сразу
несколькими летописцами независимо друг от друга.
б) Состоящим из уже искаженных -- как-то разреженных и
местами ошибочных коротких хронологических списков. В самом
деле, даже в своем исходном виде каждая из летописей
Z_1, Z_2,..., Z_K упоминала, возможно, не все имена правителей, не
всех исторических деятелей, участвующих в событиях. Кроме того,
при последующем переписывании и компиляциях появлялись ошибки,
пропуски, произвольные вставки и т. п. Для простоты рассуждений
мы будем считать все эти ошибки присущими летописям Z_i с самого
начала.
Итогом работы по составлению хронологии в ее современном
виде явилась некоторая новая склейка списков Z_i (новое
совмещение их на оси времени), которая и породила известный нам
хронологический список имен Х.
Рассмотрим два отрезка \ВД\А_1, \ВД\А_2 списка имен Х и попытаемся
ответить на вопрос: нет ли такой пары Z_i, Z_j коротких
хронологических списков из множества {Z_i}, которые в списке Y
(в реальности) относились к одному и тому же месту, а в списке
Х оказались "подклеенными" к \ВД\А_1 и \ВД\А_2 соответственно? Так же как и
в модельном примере с картами (см. главу 1), заключаем, что если
такая пара есть, то увеличивается вероятность того, что имена из
\ВД\А_1 и \ВД\А_2 окажутся близко друг от друга где-то в списке Х (за счет
третьей, "склеивающей" летописи Z_m, смешивающей имена из Z_i и
Z_j).
p3'3'2
2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СВЯЗЕЙ МЕЖДУ ДУБЛИКАТАМИ
В ЛЕТОПИСИ
Пусть дан хронологический список имен Х. Начиная с этого
места забудем на время о разбиении списка Х на главы. В отличие
от задачи определения ВЕЛИЧИН СДВИГОВ между дубликатами, для
построения МАТРИЦЫ СВЯЗЕЙ временна'я шкала в списке не
используется. После построения матрицы мы снова воспользуемся ею
для СОДЕРЖАТЕЛЬНОЙ интерпретации результатов.
Для уточнения понятий "отрезок списка" и "близость в списке"
введем следующие определения.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Для i-го имени a_i в списке имен Х =
{a_1,..., a_n} его ОПРЕДЕЛЯЮЩЕЙ ОКРЕСТНОСТЬЮ РАДИУСА k назовем
отрезок списка:
\ВД\А_{a_i}(k) = \ВД\А_i(k) = \ВД\А_i = {a_{i-k},..., a_{i+k}}, (k Определяющая окрестность радиуса k не вводится для k первых
и k последних имен списка. Число 2k+1, равное числу имен в
определяющей окрестности, будем называть ДЛИНОЙ этой окрестности.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. НЕНОРМИРОВАННОЙ СВЯЗЬЮ двух имен из множества I
различных имен списка Х назовем число пар таких же имен,
расположенных друг от друга в списке Х на расстоянии меньшем, чем
p (то есть разность их номеров в списке меньше, чем p). Число p
явяется параметром модели и называется ДЛИНОЙ СВЯЗЫВАЮЩЕЙ
ОКРЕСТНОСТИ. Ненормированную связь имен u_i и u_j обозначим через
l_0(u_i, u_j).
Параметры k и p подбирались в каждом случае отдельно с целью
получить наиболее четкий результат.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142
1\Д<\Аi, j\Д<\Аn, алгебры событий \ВS\А_2 = 2^\ВW\А 2 и равномерного распределения:
P_2(\Вw\А_2) = 1/n^2 для любого \Вw\А_2\ВEW\А_2.
Поскольку мера P_2 не зависит от \Вw\А_1, то итоговое
вероятностное пространство (\ВW\А, \ВS\А, P) является произведением
пространств (\ВW\А_1, \ВS\А_1, P_1) и (\ВW\А_2, \ВS\А_2, P_2):
\ВW\А = \ВW\А_1\Иx\ВW\А_2; \ВS\А=2^\ВW\А; P(\Вw\А)=P(\Вw\А_1, \Вw\А_2)=P_1(\Вw\А_1)\Иx\АP_2(\Вw\А_2).
На вероятностном пространстве (\ВW\А, \ВS\А, P) определена случайная
величина \Вз\А:
\Вз\А((\Вw\А)=\Вз\А(\Вw\А_1, \Вw\А_2)=\Вз\А(\Вw\А_2).
Пусть A -- некоторое событие из \ВS\А. Сформулируем
предположение о вероятностной мере P_1 (то есть о вероятностном
механизме образования порядка имен в правильном хронологическом
списке).
ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ. Предположим, что случайная величина \Вз\А не
зависит от события A:
P{\Вз\А=x|A} = P{\Вз\А=x} для всех x.
Никаких других условий на меру P_1 мы накладывать не будем.
Сделанное предположение зависит от выбора события A. Если в
качестве A выбрать локальное событие (определение локальных
событий дано выше), то это предположение вытекает (для
правильного хронологического списка) из сформулированного выше
следствия гипотезы Н_0: P{\Вз\А=x|A, \Вз\Д>\Ве\А} = P{\Вз\А=x|\Вз\Д>\Ве\А}, где \Ве\А -
радиус затухания зависимости в списке Х.
Здесь мы без ограничения общности будем считать, что \Ве\А=0.
Общий случай сводится к этому простой модификацией вероятностой
схемы (\ВW\А_2, \ВS\А_2, P_2).
p3'3'1
Глава 3. МАТРИЦЫ СВЯЗЕЙ ДЛЯ ХРОНОЛОГИЧЕСКИХ СПИСКОВ ИМЕН
1. КАК УЗНАТЬ -- КАКИЕ ИМЕННО ЧАСТИ ЛЕТОПИСИ
ЯВЛЯЮТСЯ ДУБЛИКАТАМИ?
В предудущей главе с помощью гистограмм частот разнесений
связанных имен проверялась гипотеза об отсутствии дубликатов в
данном хронологическом списке имен.
В тех случаях, когда присутствие дубликатов было обнаружено,
определялись типичные сдвиги между дубликатами в списке. Однако
метод гистограмм частот связанных имен не дает прямого ответа на
следующий основной вопрос:
КАКИЕ ИМЕННО ЧАСТИ СПИСКА ЯВЛЯЮТСЯ ДУБЛИКАТАМИ И В КАКОЙ
МЕРЕ?
Напомним, что в соответствии с понятием слоистой хроники,
два отрезка хронологического списка называются ДУБЛИКАТАМИ, если
они содержат соответственно ДУБЛИРУЮЩИЕ ДРУГ ДРУГА СЛОИ.
В данной главе мы опишем метод, позволяющий отвечать на этот
вопрос. Результатом его применения к историческому
хронологическому списку будет являться так называемая "МАТРИЦА
СВЯЗЕЙ" (фрагментов) данного списка. Это -- КВАДРАТНАЯ ТАБЛИЦА,
показывающая в какой мере те или иные отрезка списка имен
являются дубликатами друг друга ("связаны" между собой).
Мы уже вкратце описали идею метода, пользуясь модельной
задачей о колоде карт (см. главу 1). Проведем теперь эти
рассуждения уже не для модельной задачи, а для РЕАЛЬНЫХ
хронологических списков.
Пусть имеется список имен Х, который может содержать ошибки,
пропуски и (или) дубликаты.
НЕИЗВЕСТНЫЙ НАМ ИСТИННЫЙ СПИСОК ИМЕН, лежащий в основе
реального списка Х, обозначим через Y. Таким образом, Y -
ВООбРАЖАЕМЫЙ список имен, содержащий полные неискаженные данные
(скажем, об именах правителей данного государства) для
длительного исторического промежутка времени I_Y.
РЕАЛЬНЫЙ список имен Х, который находится в нашем
распоряжении является ИСКАЖЕНИЕМ, "зашумлением" списка Y с
возможной потерей доли информации.
Предположим, что промежуток времени I_Y был описан МНОГИМИ
летописцами -- очевидцами или современниками происходящих
событий.
Каждый из них составлял свою короткую летопись Z_i по
современным ему событиям. Поскольку мы изучаем сейчас не весь
текст летописи, а только имена, извлеченные из нее, то можем
считать (для удобства), что каждый летописец составлял некий
короткий хронологический список имен, который мы также обозначим
через Z_i.
Если промежуток времени I_Y описывался K летописцами, то в
основе наших знаний о события, происходивших на этом промежутке,
лежит K коротких летописей Z_1, Z_2,..., Z_K (включая и утраченные
летописи). Множество этих летописей (коротких хронологических
списков имен) мы обозначим через {Z_i}.
Множество {Z_i} образует некоторое покрытие списка Y.
Это покрытие мы будем считать:
а) Достаточно плотным, то есть предположим, что каждый
отдельный год из промежутка I_Y описывался не одним, а сразу
несколькими летописцами независимо друг от друга.
б) Состоящим из уже искаженных -- как-то разреженных и
местами ошибочных коротких хронологических списков. В самом
деле, даже в своем исходном виде каждая из летописей
Z_1, Z_2,..., Z_K упоминала, возможно, не все имена правителей, не
всех исторических деятелей, участвующих в событиях. Кроме того,
при последующем переписывании и компиляциях появлялись ошибки,
пропуски, произвольные вставки и т. п. Для простоты рассуждений
мы будем считать все эти ошибки присущими летописям Z_i с самого
начала.
Итогом работы по составлению хронологии в ее современном
виде явилась некоторая новая склейка списков Z_i (новое
совмещение их на оси времени), которая и породила известный нам
хронологический список имен Х.
Рассмотрим два отрезка \ВД\А_1, \ВД\А_2 списка имен Х и попытаемся
ответить на вопрос: нет ли такой пары Z_i, Z_j коротких
хронологических списков из множества {Z_i}, которые в списке Y
(в реальности) относились к одному и тому же месту, а в списке
Х оказались "подклеенными" к \ВД\А_1 и \ВД\А_2 соответственно? Так же как и
в модельном примере с картами (см. главу 1), заключаем, что если
такая пара есть, то увеличивается вероятность того, что имена из
\ВД\А_1 и \ВД\А_2 окажутся близко друг от друга где-то в списке Х (за счет
третьей, "склеивающей" летописи Z_m, смешивающей имена из Z_i и
Z_j).
p3'3'2
2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СВЯЗЕЙ МЕЖДУ ДУБЛИКАТАМИ
В ЛЕТОПИСИ
Пусть дан хронологический список имен Х. Начиная с этого
места забудем на время о разбиении списка Х на главы. В отличие
от задачи определения ВЕЛИЧИН СДВИГОВ между дубликатами, для
построения МАТРИЦЫ СВЯЗЕЙ временна'я шкала в списке не
используется. После построения матрицы мы снова воспользуемся ею
для СОДЕРЖАТЕЛЬНОЙ интерпретации результатов.
Для уточнения понятий "отрезок списка" и "близость в списке"
введем следующие определения.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Для i-го имени a_i в списке имен Х =
{a_1,..., a_n} его ОПРЕДЕЛЯЮЩЕЙ ОКРЕСТНОСТЬЮ РАДИУСА k назовем
отрезок списка:
\ВД\А_{a_i}(k) = \ВД\А_i(k) = \ВД\А_i = {a_{i-k},..., a_{i+k}}, (k
и k последних имен списка. Число 2k+1, равное числу имен в
определяющей окрестности, будем называть ДЛИНОЙ этой окрестности.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. НЕНОРМИРОВАННОЙ СВЯЗЬЮ двух имен из множества I
различных имен списка Х назовем число пар таких же имен,
расположенных друг от друга в списке Х на расстоянии меньшем, чем
p (то есть разность их номеров в списке меньше, чем p). Число p
явяется параметром модели и называется ДЛИНОЙ СВЯЗЫВАЮЩЕЙ
ОКРЕСТНОСТИ. Ненормированную связь имен u_i и u_j обозначим через
l_0(u_i, u_j).
Параметры k и p подбирались в каждом случае отдельно с целью
получить наиболее четкий результат.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142