Методика
была впервые предложена авторами в [11-13]. Подробное изложение
метода см. в главе 3.
p3'2'1
Глава 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СДВИГОВ В ХРОНОЛОГИИ ПО ГИСТОГРАММАМ
ЧАСТОТ РАЗНЕСЕНИЙ СВЯЗАННЫХ ИМЕН
1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
1. 1. БОЛЬШАЯ КОЛОДА КАРТ И СОСТАВЛЯЮЩИЕ ЕЕ МАЛЫЕ КОЛОДЫ
Вернемся к модельной задаче о колодах карт (уже описанной в
предыдущем параграфе), в терминах которой будут сформулированы
необходимые определения.
Предположим, что в нашем распоряжении имеется некоторая
последовательность карт К (колода карт), которая может содержать
ПОВТОРЯЮЩИЕСЯ КАРТЫ. Будем говорить, что колода К СОДЕРЖИТ
ДУБЛИКАТЫ, если она получена из нескольких одинаковых по составу
и порядку более коротких колод карт Х (также содержащих,
возможно, повторяющиеся карты), которые были сложены подряд в
одну общую колоду ХХ... Х, а затем получившаяся таким образом
БОЛЬШАЯ КОЛОДА БЫЛА ПЕРЕТАСОВАНА.
Мы допускаем, что перед тасованием каждый экземпляр исходной
колоды Х был как-то ИСКАЖЕН. Под ИСКАЖЕНИЯМИ будем понимать
случайное исключение, дублирование или замену отдельной карты или
же последовательности подряд стоящих карт. Предположим однако,
что локальные искажения в различных частях каждой из исходных
колод НЕЗАВИСИМЫ друг от друга.
Если же исследуемая колода ДУБЛИКАТОВ НЕ СОДЕРЖИТ (то есть
порядок карт в ней не порожден описанным выше механизмом), будем
называть порядок карт в колоде ПРАВИЛЬНЫМ.
1. 2. ФОРМУЛИРОВКА ПРОБЛЕМЫ
Задача состоит в том, чтобы по известной последовательности
карт в колоде К проверить гипотезу Н о том, что порядок карт в К
0
-- ПРАВИЛЬНЫЙ, то есть К не содержит дубликатов. Если гипотеза Н
0
отвергается, то требуется определить ВЕЛИЧИНЫ СДВИГОВ между
экземплярами исходной колоды Х, расположенными в колоде К (и не
до конца разрушенными при тасовании -- см. рис. 17).
Для решения этой задачи сформулируем следствие гипотезы Н,
0
допускающее проверку методами математической статистики.
1. 3. РАЗБИЕНИЕ БОЛЬШОЙ КОЛОДЫ
Пусть общее число карт в колоде К равно n и из них
m различных. Разобъем колоду К на отрезки ОДИНАКОВОЙ ДЛИНЫ:
К = ( К, К,..., К ),
1 2 N
где через N обозначено общее количество отрезков разбиения.
Пусть каждый из этих отрезков содержит p карт. Разбиение
выберем так, чтобы число карт в отрезке разбиения было
существенно меньше общего числа карт в колоде К:
p \а<\А n.
1. 4. РАЗНЕСЕНИЕ ПАРЫ КАРТ КАК СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА
Рассмотрим конечную вероятностную схему равновероятного
выбора с возвращением двух карт из колоды К. Это значит, что
происходит случайный равновероятный выбор карты в колоде К, эта
карта запоминается и возвращается в колоду.
Затем также равновероятно выбирается вторая карта.
Результатом выбора является (случайный) протокол, в котором
записаны порядковые номера в колоде обеих выбранных карт k, k в
1 2
порядке их выбора.
Определим случайную величину \Вз\А, которую мы назовем
РАЗНЕСЕНИЕМ выбранной пары карт. Пусть i и i -- порядковые
1 2
номера отрезков колоды К, в которых содержатся выбранные карты
k и k. По определению положим:
1 2
\Вз\А = |i -- i |.
1 2
Таким образом, РАЗНЕСЕНИЕ \Вз\А -- ЭТО АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА
РАЗНОСТИ НОМЕРОВ ОТРЕЗКОВ РАЗБИЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИХ ВЫБРАННЫЕ КАРТЫ.
1. 5. ЛОКАЛЬНОЕ ИСКАЖЕНИЕ ЛЕТОПИСИ -- КОЛОДЫ КАРТ
Пусть А -- некоторое событие, определяемое заданной
структурой колоды К (то есть порядком карт в ней и ее разбиением на
отрезки) и выбранной парой карт. Событие А назовем ЛОКАЛЬНЫМ
СОБЫТИЕМ (локальным условием), если наступление этого события
может быть обеспечено заменой карт в одном из отрезков разбиения
колоды К (заменой, возможно зависящей от случая). Другими
словами, локальное событие -- это такое событие, которое может
быть обусловлено ЛОКАЛЬНЫМ ИСКАЖЕНИЕМ колоды К.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПРИМЕР. Событие А, состоящее в том, что в
0
некотором отрезке разбиения содержатся карты сразу обоих
выбранных видов является ЛОКАЛЬНЫМ СОБЫТИЕМ. В самом деле,
изменив две карты, скажем, в первом отрезке разбиения так, чтобы
в нем оказались такие же карты, как и выбранные, мы обеспечим
наступление события А.
0
Если же говорить об исторических хрониках, МОДЕЛЬЮ КОТОРЫХ
является колода карт К, то содержательный смысл понятия
"локальное событие" состоит в следующем. Такие события, с одной
стороны, могут возникать в итоге сознательных действий хрониста
или переписчика, а с другой стороны, для их возникновения не
требуется переделки всего текста хроники.
Скажем, в примере с событием А хронист, включивший в
0
какое-то место хроники имена двух персонажей, сделал это на
основании своих вполне осознанных представлений о том, что они
жили одновременно (или имели сходную судьбу и т. п.) и ему для
этого не надо было перекраивать заново весь текст хроники.
В отличие от этого, ГЛОБАЛЬНЫЕ характеристики распределения
имен в длинных исторических хрониках, мало чувствительные к их
локальным искажениям, НЕ МОГЛИ КОНТРОЛИРОВАТЬСЯ ОТДЕЛЬНЫМИ
ХРОНИСТАМИ. Изменение глобальных характеристик могло произойти
лишь на заключительном этапе компиляции (согласования) крупных
хроник и включения их в единую хронологическую шкалу. Поэтому
именно ГЛОБАЛЬНЫЕ характеристики полезны при исследовании
"скрытой" структуры летописей.
1. 6. ЛОКАЛЬНАЯ СВЯЗЬ КАРТ В "ПРАВИЛЬНОЙ КОЛОДЕ"
НЕ ВЛИЯЕТ НА ГЛОБАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТАКИХ ЖЕ КАРТ
6. В основе предлагаемой методики лежит следующее
интуитивно очевидное утверждение о статистических свойствах
ПРАВИЛЬНОГО ПОРЯДКА карт в колоде К.
ГИПОТЕЗА
Если колода К не содержала дубликатов или же ее тасование
было достаточно полным и структура дубликатов (коротких
идентичных друг другу колод) в ней полностью разрушена, то
ЛОКАЛЬНОЕ УСЛОВИЕ, НАЛОЖЕННОЕ НА ПАРУ ВЫБРАННЫХ КАРТ, НЕ МОЖЕТ
ПОВЛИЯТЬ НА ХАРАКТЕР ГЛОБАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТАКИХ ЖЕ КАРТ ВО
ВСЕЙ БОЛЬШОЙ КОЛОДЕ. В частности, локальное условие не должно
влиять и на закон распределения случайной величины \Вз\А вне
некоторой окрестности нуля, определяемой радиусом затухания
взаимной зависимости отрезков разбиения колоды К.
В самом деле, распределение \Вз\А является ГЛОБАЛЬНОЙ
характеристикой порядка карт в целом и мало чувствительно к
хаотичным локальным изменениям этого парядка.
Это значит, что в случае ПРАВИЛЬНОГО порядка карт в К,
условное распределение случайной величины \Вз\А при условии
произвольного локального события А должно СОВПАДАТЬ вне
некоторой окрестности нуля с безусловным распределением \Вз\А.
Иначе говоря, из гипотезы Н вытекает такое следствие:
0
СЛЕДСТВИЕ ГИПОТЕЗЫ H.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142
была впервые предложена авторами в [11-13]. Подробное изложение
метода см. в главе 3.
p3'2'1
Глава 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СДВИГОВ В ХРОНОЛОГИИ ПО ГИСТОГРАММАМ
ЧАСТОТ РАЗНЕСЕНИЙ СВЯЗАННЫХ ИМЕН
1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
1. 1. БОЛЬШАЯ КОЛОДА КАРТ И СОСТАВЛЯЮЩИЕ ЕЕ МАЛЫЕ КОЛОДЫ
Вернемся к модельной задаче о колодах карт (уже описанной в
предыдущем параграфе), в терминах которой будут сформулированы
необходимые определения.
Предположим, что в нашем распоряжении имеется некоторая
последовательность карт К (колода карт), которая может содержать
ПОВТОРЯЮЩИЕСЯ КАРТЫ. Будем говорить, что колода К СОДЕРЖИТ
ДУБЛИКАТЫ, если она получена из нескольких одинаковых по составу
и порядку более коротких колод карт Х (также содержащих,
возможно, повторяющиеся карты), которые были сложены подряд в
одну общую колоду ХХ... Х, а затем получившаяся таким образом
БОЛЬШАЯ КОЛОДА БЫЛА ПЕРЕТАСОВАНА.
Мы допускаем, что перед тасованием каждый экземпляр исходной
колоды Х был как-то ИСКАЖЕН. Под ИСКАЖЕНИЯМИ будем понимать
случайное исключение, дублирование или замену отдельной карты или
же последовательности подряд стоящих карт. Предположим однако,
что локальные искажения в различных частях каждой из исходных
колод НЕЗАВИСИМЫ друг от друга.
Если же исследуемая колода ДУБЛИКАТОВ НЕ СОДЕРЖИТ (то есть
порядок карт в ней не порожден описанным выше механизмом), будем
называть порядок карт в колоде ПРАВИЛЬНЫМ.
1. 2. ФОРМУЛИРОВКА ПРОБЛЕМЫ
Задача состоит в том, чтобы по известной последовательности
карт в колоде К проверить гипотезу Н о том, что порядок карт в К
0
-- ПРАВИЛЬНЫЙ, то есть К не содержит дубликатов. Если гипотеза Н
0
отвергается, то требуется определить ВЕЛИЧИНЫ СДВИГОВ между
экземплярами исходной колоды Х, расположенными в колоде К (и не
до конца разрушенными при тасовании -- см. рис. 17).
Для решения этой задачи сформулируем следствие гипотезы Н,
0
допускающее проверку методами математической статистики.
1. 3. РАЗБИЕНИЕ БОЛЬШОЙ КОЛОДЫ
Пусть общее число карт в колоде К равно n и из них
m различных. Разобъем колоду К на отрезки ОДИНАКОВОЙ ДЛИНЫ:
К = ( К, К,..., К ),
1 2 N
где через N обозначено общее количество отрезков разбиения.
Пусть каждый из этих отрезков содержит p карт. Разбиение
выберем так, чтобы число карт в отрезке разбиения было
существенно меньше общего числа карт в колоде К:
p \а<\А n.
1. 4. РАЗНЕСЕНИЕ ПАРЫ КАРТ КАК СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА
Рассмотрим конечную вероятностную схему равновероятного
выбора с возвращением двух карт из колоды К. Это значит, что
происходит случайный равновероятный выбор карты в колоде К, эта
карта запоминается и возвращается в колоду.
Затем также равновероятно выбирается вторая карта.
Результатом выбора является (случайный) протокол, в котором
записаны порядковые номера в колоде обеих выбранных карт k, k в
1 2
порядке их выбора.
Определим случайную величину \Вз\А, которую мы назовем
РАЗНЕСЕНИЕМ выбранной пары карт. Пусть i и i -- порядковые
1 2
номера отрезков колоды К, в которых содержатся выбранные карты
k и k. По определению положим:
1 2
\Вз\А = |i -- i |.
1 2
Таким образом, РАЗНЕСЕНИЕ \Вз\А -- ЭТО АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА
РАЗНОСТИ НОМЕРОВ ОТРЕЗКОВ РАЗБИЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИХ ВЫБРАННЫЕ КАРТЫ.
1. 5. ЛОКАЛЬНОЕ ИСКАЖЕНИЕ ЛЕТОПИСИ -- КОЛОДЫ КАРТ
Пусть А -- некоторое событие, определяемое заданной
структурой колоды К (то есть порядком карт в ней и ее разбиением на
отрезки) и выбранной парой карт. Событие А назовем ЛОКАЛЬНЫМ
СОБЫТИЕМ (локальным условием), если наступление этого события
может быть обеспечено заменой карт в одном из отрезков разбиения
колоды К (заменой, возможно зависящей от случая). Другими
словами, локальное событие -- это такое событие, которое может
быть обусловлено ЛОКАЛЬНЫМ ИСКАЖЕНИЕМ колоды К.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПРИМЕР. Событие А, состоящее в том, что в
0
некотором отрезке разбиения содержатся карты сразу обоих
выбранных видов является ЛОКАЛЬНЫМ СОБЫТИЕМ. В самом деле,
изменив две карты, скажем, в первом отрезке разбиения так, чтобы
в нем оказались такие же карты, как и выбранные, мы обеспечим
наступление события А.
0
Если же говорить об исторических хрониках, МОДЕЛЬЮ КОТОРЫХ
является колода карт К, то содержательный смысл понятия
"локальное событие" состоит в следующем. Такие события, с одной
стороны, могут возникать в итоге сознательных действий хрониста
или переписчика, а с другой стороны, для их возникновения не
требуется переделки всего текста хроники.
Скажем, в примере с событием А хронист, включивший в
0
какое-то место хроники имена двух персонажей, сделал это на
основании своих вполне осознанных представлений о том, что они
жили одновременно (или имели сходную судьбу и т. п.) и ему для
этого не надо было перекраивать заново весь текст хроники.
В отличие от этого, ГЛОБАЛЬНЫЕ характеристики распределения
имен в длинных исторических хрониках, мало чувствительные к их
локальным искажениям, НЕ МОГЛИ КОНТРОЛИРОВАТЬСЯ ОТДЕЛЬНЫМИ
ХРОНИСТАМИ. Изменение глобальных характеристик могло произойти
лишь на заключительном этапе компиляции (согласования) крупных
хроник и включения их в единую хронологическую шкалу. Поэтому
именно ГЛОБАЛЬНЫЕ характеристики полезны при исследовании
"скрытой" структуры летописей.
1. 6. ЛОКАЛЬНАЯ СВЯЗЬ КАРТ В "ПРАВИЛЬНОЙ КОЛОДЕ"
НЕ ВЛИЯЕТ НА ГЛОБАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТАКИХ ЖЕ КАРТ
6. В основе предлагаемой методики лежит следующее
интуитивно очевидное утверждение о статистических свойствах
ПРАВИЛЬНОГО ПОРЯДКА карт в колоде К.
ГИПОТЕЗА
Если колода К не содержала дубликатов или же ее тасование
было достаточно полным и структура дубликатов (коротких
идентичных друг другу колод) в ней полностью разрушена, то
ЛОКАЛЬНОЕ УСЛОВИЕ, НАЛОЖЕННОЕ НА ПАРУ ВЫБРАННЫХ КАРТ, НЕ МОЖЕТ
ПОВЛИЯТЬ НА ХАРАКТЕР ГЛОБАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТАКИХ ЖЕ КАРТ ВО
ВСЕЙ БОЛЬШОЙ КОЛОДЕ. В частности, локальное условие не должно
влиять и на закон распределения случайной величины \Вз\А вне
некоторой окрестности нуля, определяемой радиусом затухания
взаимной зависимости отрезков разбиения колоды К.
В самом деле, распределение \Вз\А является ГЛОБАЛЬНОЙ
характеристикой порядка карт в целом и мало чувствительно к
хаотичным локальным изменениям этого парядка.
Это значит, что в случае ПРАВИЛЬНОГО порядка карт в К,
условное распределение случайной величины \Вз\А при условии
произвольного локального события А должно СОВПАДАТЬ вне
некоторой окрестности нуля с безусловным распределением \Вз\А.
Иначе говоря, из гипотезы Н вытекает такое следствие:
0
СЛЕДСТВИЕ ГИПОТЕЗЫ H.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142