0
Пусть А -- некоторое локальное событие, а \Ве\А -- радиус
затухания зависимости между отдельными отрезками разбиения колоды
К. (В качестве единицы измерения этого радиуса возьмем длину
отрезка разбиения. Таким образом \Ве\А -- целое число.) Тогда
распределение P{\Вз\А = x|A, \Вз\А \Д>\А \Ве\А} должно совпадать
с распределением
P{\Вз\А = x|\Вз\А \Д>\А \Ве\А}.
С другой стороны, в случае, когда гипотеза Н неверна и
0
колода К содержит дубликаты, указанные распределения могут
очень сильно разниться на всем интервале возможных значений
случайной величины \Вз\А (0\Д<\Вз\Д<\АN-1).
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПРИМЕР. Возьмем событие А, определенное выше
0
и предположим, что колода К содержит дубликаты. Тогда для
некоторых отрезков разбиения К, такие же как и в К карты будут
i i
содержаться также в дубликатах даного отрезка. Таким образом,
пары карт, тождественных с некоторыми картами из К, будут
i
распределены по колоде К не совсем произвольно. А именно, они
будут "собираться" в дискретно расположенной серии дубликатов
отрезка К.
i
Значит и разнесение этих пар будет особенно часто принимать
значения либо близкие к нулю, либо равные сдвигам между
дубликатами этой серии в колоде К. Поскольку условие А
0
существенно ограничивает выбор пар карт -- рассматриваются лишь
те, которые (сами или тождественные им) хоть раз попали в один и
тот же отрезок разбиения колоды К, -- то описанная ситуация с
дубликатами будет довольно типичной для ограниченного таким
образом множества пар.
Это изменит распределение случайной величины \Вз\А (по сравнению
с ее распределением на множестве всех пар) и заставит ее чаще
принимать те значения, которые характерны для расстояний между
дубликатами в К. Таким образом, условное распределение \Вз\А при
условии А будет существенно отличаться от ее безусловного
0
распределения.
Сформулированное следствие позволяет проверять гипотезу Н в
0
конкретных хрониках. Более того, анализ условных распределений
вида P{\Вз\А = x|A} с различными локальными событиями А дает
возможность определить величины сдвигов между дубликатами в К.
p3'2'2
2. РАЗНЕСЕНИЯ СВЯЗАННЫХ ИМЕН
2. 1. ПРАВИЛЬНЫЙ ХРОНОЛОГИЧЕСКИЙ СПИСОК ИМЕН
В главе 1 было введено понятие ХРОНОЛОГИЧЕСКОГО СПИСКА ИМЕН,
снабженного разбиением на главы и приведены примеры реальных
хронологических списков. В настоящем разделе мы рассмотрим задачу
проверки гипотезы Н_0 о том, что хронология того или иного
хронологического списка имен является ПРАВИЛЬНОЙ.
Уточним понятие правильного списка по сравнению с
определением, данным в главе 1. А именно, будем называть
хронологию списка имен Х ПРАВИЛЬНОЙ, если список не является
результатом размножения и последующего "поблочного тасования"
(склейки со сдвигом и локального перемешивания) некоторого
другого, БОЛЕЕ КОРОТКОГО списка Y. В противном случае будем
говорить, что список Х СОДЕРЖИТ ДУБЛИКАТЫ. Под дубликатами
понимаются первоначально одинаковые (при тасовании они могут быть
искажены) отрезки различных экземпляров списка Y, содержащиеся в
Х (см рис. 17).
Также как и в модельной задаче, мы допускаем возможность
СЛУЧАЙНЫх искажений каждого из экземпляров списка Y, лежащих в
основе списка Х, однако предполагаем, что локальные искажения в
удаленных друг от друга частях списков ВЗАИМНО НЕЗАВИСИМЫ.
2. 2. СОПРЯЖЕННЫЕ ИМЕНА И ИМЕНА-РОВЕСНИКИ.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ
Следуя описанной в предыдущем разделе методике, рассмотрим
вероятностную схему случайного равновероятного выбора с
возвращением двух имен из списка Х и определим случайную величину
\Вз\А -- РАЗНЕСЕНИЕ выбранной пары имен.
Напомним обозначения характеристик списка Х:
n -- общее число имен в списке Х (с учетом кратности их
вхождения в список);
m -- число различных имен списка Х;
N -- число глав списка Х.
Имена списка Х мы будем обозначать буквами a_i, где индекс
указывает на порядковый номер данного имени в списке:
X = {a_1, a_2,..., a_n}.
Обозначим через I множество различных имен списка Х. Это
множество состоит из m имен (m
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. РАЗНЕСЕНИЕМ \Вр\А(a_i, a_j) ДВУХ ИМЕН a_i и a_j списка
Х, содержащихся соответственно в главах Х_r и Х_s списка,
называется целое число:
\Вр\А(a_i, a_j) = |r -- s|.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Будем называть два имени и_r, и_s из I
РОВЕСНИКАМИ (обозначение: и_r \В=\А и_s), если их первые вхождения в
список Х попали В ОДНУ И ТУ ЖЕ главу списка.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Будем говорить, что два имени и_r, и_s из I
СОПРЯЖЕНЫ (обозначение: и_r \Д:\А и_s), если найдется такая глава в
списке Х, которая содержит ОБА ЭТИХ ИМЕНИ.
Если два имени списка Х СОПРЯЖЕНЫ (являются РОВЕСНИКАМИ) как
имена из I, то будем также называть из СОПРЯЖЕННЫМИ (РОВЕСНИКАМИ)
и использовать соответствующие обозначения.
Рассмотрим конечную "урновую" схему равновероятного выбора
двух имен списка Х с возвращением. Таким образом, в качестве
пространства элементарных событий выступает декартово
произведение \ВW\А = Х\Иx\АХ, в качестве алгебры событий \ВS\А -- совокупность
всех подмножеств \ВW\А, а в качестве вероятностной меры -- равномерное
распределение на \ВW\А: P{\Вw\А} = 1/n^2 для любого \Вw\А \Д(\А \ВW\А.
Имя списка, выбранное на первом шаге обозначим b_1, а на
втором шаге -- b_2.
Предположим, что события A = {\Вw\А: b_1 \В=\А b_2} и B = {\Вw\А: b_1 \Д:
b_2}, наступающие тогда, когда выбранная пара имен -- ровесники
(событие A) или сопряжены (событие B), -- ненулевые, то есть их
вероятности отличны от нуля:
P(A) Ь 0,
P(B) Ь 0.
Рассмотрим условные вероятности P_A и P_B на \ВW\А:
P(A \ИП\А C)
P_A(С) = ----------,
P(A)
P(B \ИП\А C)
P_B(С) = ----------, C \ВE\А \ВS\А.
P(B)
Определим случайную величину \Вз\А (разнесение имен b_1 и b_2):
\Вз\А(\Вw\А) = \Вр\А(b_1, b_2).
Согласно этому определению, \Вз\А равна абсолютной величине разности
номеров пары глав списка, в которых содержатся выбранные имена.
(Если это одна и та же глава, то \Вз\А = 0). Случайная величина \Вз
может принимать целые неотрицательные значения от 0 до N-1, где N
-- общее число глав списка Х.
Обозначим через f_1, f_2, f_3 соответственно, распределения
случайной величины \Вз\А относительно вероятностей P, P_A и P_B:
f_1(x) = P{\Вз\А = x},
f_2(x) = P_A(\Вз\А = x},
f_3(x) = P_B{\Вз\А = x} (x -- целое).
Таким образом f_1 -- это безусловные распределение случайной
величины \Вз\А, а f_2 и f_3 -- условные распределения этой случайной
величины при условии, что наступило событие A (для f_1 ) или B
(для f_2). Нам будет удобно считать, что рассматривается не одна,
а три случайные величины \Вз\А_1 = \Вз\А, \Вз\А_2 и \Вз\А_3, заданные на различных
вероятностных пространствах (\ВW\А, \ВS\А, P), (\ВW\А, \ВS\А, P_A), (\ВW\А, \ВS\А, P_B) и имеющие
распределения f_1, f_2, f_3 соответственно.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142