Пример 3
Сравнить, какой из банковских вкладов выгоднее:
а) вложение 1000 рублей в банк на месяц под 3% в месяц;
б) вложение 500 рублей в банк на 6 месяцев под 12% за полгода.

Можно вычислить, каков доход в процентном выражении за месяц во вто-
ром случае, и сравнить с уже данным показателем в первом случае. Однако
традиционно в качестве такого периода берется один год.
При этом говорят, что ставка составляет Х процентов годовых.
Вычисление ставки в годовом исчислении можно производить по формуле
простого или сложного процента.
Пример 4
По банковскому вкладу ежеквартально начисляют 2% от первоначальной
суммы вклада. Найти годовую ставку процента.
Процентную ставку в периоде начисления умножают на число периодов в
году:
Годовая ставка процента = г х n = 2% х 4 квартала = 8% годовых

Пример 5
Вклад в банке дает 1% за 14 дней. Найти годовую ставку процента.
Годовая ставка процента (1% х 365 дней) / 14 дней = 26% годовых

ГОДОВАЯ СТАВКА ПРОЦЕНТА , РАСЧИТАННАЯ ПО ФОРМУЛЕ ПРОСТОГО ПРОЦЕНТА

В общем случае годовая процентная ставка без учета реинвестирования
вычисляется из формулы (4) простого процента:
FV = PV х (1 + nr),

откуда годовая ставка процента (6)


ГОДОВАЯ ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА, ВЫЧИСЛЕННАЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СЛОЖНОГО ПРО-
ЦЕНТА

Если мы используем формулу сложного процента, то на единицу вложений
годовая процентная ставка (r годовая) составит (1 + процентная ставка в
периоде начисления в долях единицы (r) ), возведенная в степень, равную
числу периодов начисления (n), минус единица:

rгодовая = (1 + r)n - 1.

Пример 6
По банковскому вкладу ежеквартально начисляют доход 2% от первона-
чальной суммы вклада. Найти ставку процента (в годовых) с учетом реин-
вестирования полученного дохода.

rгодовая = (1 + 0,02)4 - 1 = 1,082432 - 1 = 0,0824.
Сравнивая результат примеров 1 и 3, можно сделать вывод, что при про-
чих равных условиях инвестирования годовая процентная ставка с учетом
реинвестирования выше.
В общем случае годовая процентная ставка с учетом реинвестирования
вычисляется из формулы (3) сложного процента: FV = PV x (1 + r)n откуда
годовая процентная ставка


(7)


ПРИВЕДЕНИЕ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК К ОДНОМУ ВРЕМЕННОМУ ПЕРИОДУ

С учетом необходимости приведения процентных ставок к одному времен-
ному периоду их общие формулы расчета видоизменяются в зависимости от
того, в каких единицах (днях, месяцах, кварталах) выражен период инвес-
тирования.
Например, если период инвестирования выражен в днях, то число перио-
дов n = 365/X, где X - число дней. По формуле (6) процентная ставка рав-
на:






По формуле (7) процентная ставка равна:





Будучи рассчитана на основе одного временного периода (т. е. n = 1),
формула приобретает совсем простой вид:








ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Как вычисляется годовая процентная ставка с использованием сложно-
го процента?
2. Как вычисляется годовая процентная ставка с использованием просто-
го процента?

18.4 ПОНЯТИЕ О ДИСКОНТИРОВАНИИ ДЕНЕЖНЫХ ПОТОКОВ

Под денежными потоками (для целей настоящей главы) мы понимаем доходы
(выплаты), получаемые в разное время инвестором от инвестиций в денежной
форме.
Техника дисконтирования, выражающаяся в приведении будущей стоимости
инвестиций к их текущей стоимости, позволяет сравнивать различные виды
инвестиций, сделанные в разное время на разных условиях.
Для того чтобы привести будущую стоимость инвестиции к ее текущей
стоимости, необходимо умножить на коэффициент дисконтирования (дисконти-
ровать) все денежные доходы, связанные с инвестицией, и суммировать по-
лученные величины.
Коэффициент дисконтирования (1 + r)-n или определяется с учетом до-
ходности по альтернативному вложению.


Пример 7
Необходимо принять решение о том, имеет ли смысл покупать облигацию
номиналом 10 000 руб. по цене 9 500 руб. с выплатой ежегодного купонного
8-процентного дохода и сроком погашения через 3 года, если ставка про-
цента в банке по вкладу сроком на 3 года составляет 10% годовых (10% -
это ставка доходности
по альтернативному вложению денег в банк).



Будущая стоимость
Дисконтирование
Настоящая

Выплат
по ставке
Стоимость

По облигации
Доходности
Денежных


Альтернативного вложения (10%)
Выплат Год 1
Купонный доход 800 руб. 800/1,1
727 руб.
Год 2
Купонный доход 800 руб. 800/1,12
661 руб.
Год 3
Купонный доход 800 руб. 800/1,13
601 руб.
Год З
Погашение облигаций по
номиналу 10 000 руб. 10 000/1,13
7 513 руб.
Итого текущая стоимость облигации PV = 9 502 руб.

Из вычислений, приведенных выше, видно, что при данных условиях при-
обретение облигации выгоднее, чем вложение денег в банк, так как ее те-
кущая стоимость выше, чем рыночная цена облигации (9 500 руб.).

Общая формула для расчета текущей стоимости инвестиции при условии
выплаты дохода без реинвестирования через равные промежутки времени и
возврата основной суммы в конце срока:

(8)



где
C1, C2, C3 - доход, начисленный (или купон, выплаченный) в конце пер-
вого, второго, третьего периодов,
Сn - доход, начисленный (или купон, выплаченный) в конце n-ого перио-
да,
FV - основная сумма вклада, выплаченная по окончании n-ого периода,
r - доходность по альтернативному вложению.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Что такое денежные потоки ?
2. Для чего используется дисконтирование денежных потоков?






18.5 ВНУТРЕННЯЯ СТАВКА ДОХОДНОСТИ

ВНУТРЕННЯЯ СТАВКА ДОХОДНОСТИ
Иногда требуется решить обратную задачу: при какой процентной ставке
по данному вложению текущая стоимость вложения будет равна ее рыночной
стоимости? Для ответа на этот вопрос нужно решить уравнение (8) относи-
тельно r. Такое значение r называется внутренней (ибо не зависит от
внешних условий) ставкой доходности. Считается, что инвестиция тем вы-
годнее, чем выше ее внутренняя ставка доходности.

Пример 8
Облигация сроком 1 год погашается по номиналу, выплачивается ежегод-
ный купонный доход 8% номинала. Рыночная цена облигации - 98,18 номина-
ла. Найти внутреннюю ставку доходности по данному вложению.
Пусть номинал - 100, тогда


= 100 х 0,08 = 8,
= 100,

PV= 98,18,

a r предстоит найти. Подставляя полученные значения в формулу, полу-
чаем:





Отсюда:

1 + r = 108/98,18 = 1,1
и, наконец, внутренняя ставка доходности равна: г = 0,1 = 10%.

Пример 9
Найти внутреннюю ставку доходности для вложения 9 500 руб. на бан-
ковский вклад сроком на 3 года с выплатой 10% годовых без реинвестирова-
ния процентного дохода.






Где
PV = FV = 9 500,
C1 = C2 = Сз = 950.
Получаем уравнение:






Решая его относительно r , получим
r= 0,1 или 10%

Если мы найдем внутреннюю ставку доходности для облигации по условиям
Примера 7, то, решив уравнение






относительно r (r= 0,10011), мы можем убедиться, что внутренняя норма
прибыли для вложений в облигацию чуть выше, значит, они выгоднее, что
соответствует выводам, сделанным ранее.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122