Правда, уже после
открытия исчисления бесконечно малых понадобилось кое-что откорректировать
как в принципе непрерывности Аристотеля, так и в аксиоме непрерывности
Евдокса; однако эти коррективы самой непрерывности не отменили.
При рассмотрении аристотелевского принципа непрерывности мы уже говорили о
проблеме бесконечности, однако эта философская проблема нуждается в
специальном анализе.
Понятие бесконечного
Приступая к анализу понятия бесконечности, Аристотель предупреждает, что
здесь приходится ходить по очень зыбкой почве, постоянно рискуя
натолкнуться на парадоксы и противоречия: ибо "много невозможного следует и
за отрицанием его (бесконечного. - П.Г.) существования и за признанием".
Но, несмотря на эти затруднения, возникающие при рассмотрении бесконечного,
физика, так же как и математика, по мысли Аристотеля, не может обойтись без
такого рассмотрения. "А что бесконечное существует, - пишет Аристотель, -
уверенность в этом скорее всего возникает у исследователей из пяти
оснований: из времени (ибо оно бесконечно), из разделения величин (ведь и
математики пользуются бесконечным); далее, что только таким образом не
иссякнут возникновение и уничтожение, если будет бесконечное, откуда
берется возникающее. Далее, из того, что конечное всегда граничит с
чем-нибудь, так что необходимо, чтобы не было никакого предела, раз
необходимо, чтобы одно всегда граничило с другим. Но больше всего и главнее
всего - что доставляет для всех затруднение - на том основании, что
мышление не останавливается: и число кажется бесконечным, и математические
величины, и то что лежит за небом: а если лежащее за небом бесконечно, то
кажется бесконечным тело и существует множество миров..." (курсив мой. -
П.Г.) Однако в вопросе о бесконечном, говорит Аристотель, доверять мышлению
нельзя, поэтому ко всем перечисленным основаниям, побуждающим принять
бесконечное, надо подойти критически, внимательно рассмотрев возможные
следствия из каждого допущения относительно бесконечного.
Как обычно, Аристотель начинает исследование с критики платоновского и
пифагорейского понятий бесконечного. И Платон, и пифагорейцы рассматривают
бесконечное как сущность, а не свойство, не предикат чего-нибудь другого. В
отличие от них натурфилософы считают бесконечное предикатом природных
элементов, в зависимости от того, какой элемент каждый из них принимает за
первоначало - воду, воздух или огонь. Аристотель не соглашается признать
бесконечное ни сущностью, ни предикатом (сущности). Характерно его
возражение против платоновско-пифагорейской трактовки бесконечного как
сущности: если принять, что бесконечное является сущностью, то оно должно
мыслиться как неделимое. "...Если бесконечное - сущность и не относится к
какому-нибудь подлежащему, - говорит Аристотель, - то "быть бесконечным" и
"бесконечность" - одно и то же, следовательно, оно или неделимо, или делимо
на бесконечности, а быть одному и тому же предмету многими бесконечными
невозможно. Однако если оно сущность и начало, то как часть воздуха
остается воздухом, так и часть бесконечного - бесконечным. Следовательно,
оно неразделимо и неделимо. Однако невозможно бесконечному существовать
актуально, ведь ему необходимо быть количеством. Бесконечное,
следовательно, существует по совпадению... Поэтому нелепости утверждают те,
которые говорят так же, как пифагорейцы: они одновременно делают
бесконечное сущностью и делят его на части".
Аристотель считает, что платоники и пифагорейцы, рассматривая бесконечное
как "сущность", должны мыслить его как нечто неделимое, а тем самым как
актуально-бесконечное. Как же аргументирует Аристотель недопустимость
мыслить бесконечное как актуальное? Он говорит, что в этом случае
невозможно объяснить такой "вид" бесконечного, как время и величина (а тем
самым и движение), которые являются, по его выражению, "количествами". Что
же представляет собой этот вид бесконечного? В чем его отличие от
актуально-бесконечного? В том, что, "будучи проходимо по природе", это
бесконечное не имеет конца прохождения или предела. Это бесконечное
потенциально, бесконечное в возможности, а не в действительности,
осуществляемое, а не осуществленное, незавершенное и не могущее быть
никогда завершенным. В этом смысле Аристотель, явно полемизируя с
платониками, говорит, что бесконечное - это "не то, вне чего ничего нет, а
то, вне чего всегда есть что-нибудь".
Потенциально-бесконечное существует как экстенсивно- или
интенсивно-бесконечное, т.е. "или в результате сложения, или в результате
деления, или того и другого вместе". Отличие потенциально-бесконечного от
актуально-бесконечного состоит в том, что первое в сущности всегда имеет
дело с конечным и есть не что иное, как беспредельное движение по
конечному; каждый раз, имеем ли мы дело с экстенсивной бесконечностью,
например в процессе счета, или с интенсивной (в результате деления
определенного отрезка), мы каждый раз получаем как угодно малую, но всегда
конечную величину. Здесь принцип непрерывности оказывается принципом
потенциальной бесконечности. "Вообще говоря, - пишет Аристотель, -
бесконечное существует таким образом, что всегда берется иное и иное, и
взятое всегда бывает конечным, но всегда разным и разным... Притом для
величины это происходит с сохранением взятого, для времени и людей - вместе
с их уничтожением, так, однако, чтобы не было перерыва".
Как понять смысл последнего замечания? В чем отличие величины от "времени и
людей"? Это отличие Аристотель видит в том, что если величина, получаемая в
результате деления, сохраняет в себе как бы "в снятом виде" пройденные
этапы, становясь все меньше и меньше, то время, протекшее до настоящего
момента, исчезает, не сохраняясь. Характерно, однако, что в этом последнем
смысле, как говорит Аристотель, "бесконечное будет актуальным". Это
замечание может ввести в заблуждение, если не принять во внимание оговорки
Аристотеля, что "бесконечное как энтелехия" (т.е. осуществленное и в этом
смысле актуальное) существует по совпадению; другими словами, актуальным
будет "день или состязание", а не само бесконечное.
Итак, отвечая на вопрос о том, существует ли бесконечное, Аристотель
формулирует один из кардинальных тезисов своей научной программы:
бесконечное существует потенциально, но не существует актуально. Иначе
говоря, бесконечное не пребывает как нечто законченное, а всегда
становится, возникает; оно не есть что-то действительное, а только
возможное. Но отсюда с очевидностью следует, что бесконечное для Аристотеля
есть материя, ибо именно материя определяется им с самого начала как
возможность. "Бесконечное есть материя для завершенности величины и целое в
потенции, а не актуально, оно делимо и путем отнятия и путем обращенного
прибавления, а целым и ограниченным является не само по себе, а по-другому;
и поскольку оно бесконечно, не охватывает, а охватывается".
Хотя Аристотель и полемизирует с Платоном и пифагорейцами относительно
логического и онтологического статуса бесконечного, тем не менее, определяя
бесконечное как нечто неопределенное (ибо материя сама по себе, без формы,
есть нечто неопределенное), он остается на почве характерной для греков, в
том числе и для Платона, "боязни бесконечного".
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
открытия исчисления бесконечно малых понадобилось кое-что откорректировать
как в принципе непрерывности Аристотеля, так и в аксиоме непрерывности
Евдокса; однако эти коррективы самой непрерывности не отменили.
При рассмотрении аристотелевского принципа непрерывности мы уже говорили о
проблеме бесконечности, однако эта философская проблема нуждается в
специальном анализе.
Понятие бесконечного
Приступая к анализу понятия бесконечности, Аристотель предупреждает, что
здесь приходится ходить по очень зыбкой почве, постоянно рискуя
натолкнуться на парадоксы и противоречия: ибо "много невозможного следует и
за отрицанием его (бесконечного. - П.Г.) существования и за признанием".
Но, несмотря на эти затруднения, возникающие при рассмотрении бесконечного,
физика, так же как и математика, по мысли Аристотеля, не может обойтись без
такого рассмотрения. "А что бесконечное существует, - пишет Аристотель, -
уверенность в этом скорее всего возникает у исследователей из пяти
оснований: из времени (ибо оно бесконечно), из разделения величин (ведь и
математики пользуются бесконечным); далее, что только таким образом не
иссякнут возникновение и уничтожение, если будет бесконечное, откуда
берется возникающее. Далее, из того, что конечное всегда граничит с
чем-нибудь, так что необходимо, чтобы не было никакого предела, раз
необходимо, чтобы одно всегда граничило с другим. Но больше всего и главнее
всего - что доставляет для всех затруднение - на том основании, что
мышление не останавливается: и число кажется бесконечным, и математические
величины, и то что лежит за небом: а если лежащее за небом бесконечно, то
кажется бесконечным тело и существует множество миров..." (курсив мой. -
П.Г.) Однако в вопросе о бесконечном, говорит Аристотель, доверять мышлению
нельзя, поэтому ко всем перечисленным основаниям, побуждающим принять
бесконечное, надо подойти критически, внимательно рассмотрев возможные
следствия из каждого допущения относительно бесконечного.
Как обычно, Аристотель начинает исследование с критики платоновского и
пифагорейского понятий бесконечного. И Платон, и пифагорейцы рассматривают
бесконечное как сущность, а не свойство, не предикат чего-нибудь другого. В
отличие от них натурфилософы считают бесконечное предикатом природных
элементов, в зависимости от того, какой элемент каждый из них принимает за
первоначало - воду, воздух или огонь. Аристотель не соглашается признать
бесконечное ни сущностью, ни предикатом (сущности). Характерно его
возражение против платоновско-пифагорейской трактовки бесконечного как
сущности: если принять, что бесконечное является сущностью, то оно должно
мыслиться как неделимое. "...Если бесконечное - сущность и не относится к
какому-нибудь подлежащему, - говорит Аристотель, - то "быть бесконечным" и
"бесконечность" - одно и то же, следовательно, оно или неделимо, или делимо
на бесконечности, а быть одному и тому же предмету многими бесконечными
невозможно. Однако если оно сущность и начало, то как часть воздуха
остается воздухом, так и часть бесконечного - бесконечным. Следовательно,
оно неразделимо и неделимо. Однако невозможно бесконечному существовать
актуально, ведь ему необходимо быть количеством. Бесконечное,
следовательно, существует по совпадению... Поэтому нелепости утверждают те,
которые говорят так же, как пифагорейцы: они одновременно делают
бесконечное сущностью и делят его на части".
Аристотель считает, что платоники и пифагорейцы, рассматривая бесконечное
как "сущность", должны мыслить его как нечто неделимое, а тем самым как
актуально-бесконечное. Как же аргументирует Аристотель недопустимость
мыслить бесконечное как актуальное? Он говорит, что в этом случае
невозможно объяснить такой "вид" бесконечного, как время и величина (а тем
самым и движение), которые являются, по его выражению, "количествами". Что
же представляет собой этот вид бесконечного? В чем его отличие от
актуально-бесконечного? В том, что, "будучи проходимо по природе", это
бесконечное не имеет конца прохождения или предела. Это бесконечное
потенциально, бесконечное в возможности, а не в действительности,
осуществляемое, а не осуществленное, незавершенное и не могущее быть
никогда завершенным. В этом смысле Аристотель, явно полемизируя с
платониками, говорит, что бесконечное - это "не то, вне чего ничего нет, а
то, вне чего всегда есть что-нибудь".
Потенциально-бесконечное существует как экстенсивно- или
интенсивно-бесконечное, т.е. "или в результате сложения, или в результате
деления, или того и другого вместе". Отличие потенциально-бесконечного от
актуально-бесконечного состоит в том, что первое в сущности всегда имеет
дело с конечным и есть не что иное, как беспредельное движение по
конечному; каждый раз, имеем ли мы дело с экстенсивной бесконечностью,
например в процессе счета, или с интенсивной (в результате деления
определенного отрезка), мы каждый раз получаем как угодно малую, но всегда
конечную величину. Здесь принцип непрерывности оказывается принципом
потенциальной бесконечности. "Вообще говоря, - пишет Аристотель, -
бесконечное существует таким образом, что всегда берется иное и иное, и
взятое всегда бывает конечным, но всегда разным и разным... Притом для
величины это происходит с сохранением взятого, для времени и людей - вместе
с их уничтожением, так, однако, чтобы не было перерыва".
Как понять смысл последнего замечания? В чем отличие величины от "времени и
людей"? Это отличие Аристотель видит в том, что если величина, получаемая в
результате деления, сохраняет в себе как бы "в снятом виде" пройденные
этапы, становясь все меньше и меньше, то время, протекшее до настоящего
момента, исчезает, не сохраняясь. Характерно, однако, что в этом последнем
смысле, как говорит Аристотель, "бесконечное будет актуальным". Это
замечание может ввести в заблуждение, если не принять во внимание оговорки
Аристотеля, что "бесконечное как энтелехия" (т.е. осуществленное и в этом
смысле актуальное) существует по совпадению; другими словами, актуальным
будет "день или состязание", а не само бесконечное.
Итак, отвечая на вопрос о том, существует ли бесконечное, Аристотель
формулирует один из кардинальных тезисов своей научной программы:
бесконечное существует потенциально, но не существует актуально. Иначе
говоря, бесконечное не пребывает как нечто законченное, а всегда
становится, возникает; оно не есть что-то действительное, а только
возможное. Но отсюда с очевидностью следует, что бесконечное для Аристотеля
есть материя, ибо именно материя определяется им с самого начала как
возможность. "Бесконечное есть материя для завершенности величины и целое в
потенции, а не актуально, оно делимо и путем отнятия и путем обращенного
прибавления, а целым и ограниченным является не само по себе, а по-другому;
и поскольку оно бесконечно, не охватывает, а охватывается".
Хотя Аристотель и полемизирует с Платоном и пифагорейцами относительно
логического и онтологического статуса бесконечного, тем не менее, определяя
бесконечное как нечто неопределенное (ибо материя сама по себе, без формы,
есть нечто неопределенное), он остается на почве характерной для греков, в
том числе и для Платона, "боязни бесконечного".
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99