Но если кто-то формулирует положение, что в
равнобедренных треугольниках углы при основании равны, то можно сказать,
что он формулирует теорему, ибо невозможно, чтобы в каком-нибудь
равнобедренном треугольнике углы при основании не были равны".
Таким образом, теорема - это теоретическое утверждение, в котором
определенному объекту приписывается свойство, которое ему присуще с
необходимостью.
Проблема же - это скорее практическая задача, которая выполняется
определенным способом, и нужно найти эти способы, изобрести их и выполнить
требуемое построение. Характерной особенностью задачи (проблемы) является
то, что требуемое построение - отнюдь не единственно возможное: при
заданных условиях можно осуществить и другое построение.
Теорема представляет собой утверждение, противоположное которому будет
неистинным; к проблеме же определение "истинно - неистинно" не может быть
применено.
Указав на различие между теоремами и проблемами, Прокл переходит к
рассмотрению аксиом и постулатов. "Общим для аксиом и постулатов, - пишет
он, - является то, что они не нуждаются ни в каком обосновании и ни в каком
геометрическом доказательстве, но что они принимаются как известные и
являются началами для последующего. Но аксиомы отличаются от постулатов так
же, как теоремы от проблем. А именно, подобно тому как в случае теорем мы
ставили задачу усмотреть и понять следствие из предпосылок, а в случае
проблем получаем требование что-то найти и сделать, точно так же и в случае
аксиом принимается то, что сразу видно и не представляет никаких
затруднений для нашего необученного (ungeschulten) мышления. Но в случае
постулатов мы пытаемся найти то, что легко получить и установить и
относительно чего рассудок не затрудняется, не нуждается ни в каком сложном
методе и ни в какой конструкции".
Если мы оставим в стороне весьма сложный и на протяжении многих веков
дискутировавшийся среди математиков и философов вопрос о двух последних
постулатах (4 и 5-й) и некоторых аксиомах (7 и 9-ъ), то с различением,
которое здесь приводит Прокл, трудно не согласиться.
Из дальнейшего сообщения Прокла мы узнаем, что еще до Евклида греческие
математики и философы обсуждали значение недоказуемых предпосылок в
геометрии. Ученик Платона Спевсипп не соглашался с математиком Менехмом,
учеником Евдокса; их спор был продолжением полемики самого Платона с
Архитом, Евдоксом и другими математиками относительно применимости в
геометрии принципа построения. Во всяком случае, Г.Г. Цейтен считает, что
спор между Менехмом и Спевсиппом подобен тому, который начался еще раньше
между Евдоксом и Платоном, и что этот спор касается доказательства
существования геометрических объектов. "...Платоники, - пишет Цейтен, -
утверждали, что равносторонний треугольник существует до построения его,
Менехм же, очевидно, должен был доказывать, что в его реальном
существовании мы убеждаемся, лишь построив его и доказав при этом, что это
построение приводит действительно к преследуемой им цели. Но так именно
поступает Евклид: он не довольствуется определением равносторонних
треугольников; прежде чем начать пользоваться ими, он убеждается в их
существовании, решив в первой теореме своей первой книги задачу о
построении этих треугольников; затем он доказывает правильность этого
построения".
Цейтен считает, что этот спор имеет принципиальное значение с точки зрения
платоника Спевсиппа, существование геометрических объектов (того же
равностороннего треугольника) не может быть доказано с помощью построения,
ибо геометрические объекты тождественны идеям и существуют от века, а
Менехм и вслед за ним Евклид не согласны со Спевсиппом. Что касается
названных математиков, то их позицию Цейтен характеризует следующим
образом: "Основное значение геометрического построения заключается в
доказательстве реального существования того самого объекта, к нахождению
которого приводит это построение". К этой позиции присоединяется и сам
Цейтен, считая, что постулаты Евклида представляют собой доказательства
существования геометрических объектов: первый постулат - доказательство
существования отрезка прямой, второй - неограниченно продолженной прямой,
третий - круга.
И действительно, у Прокла по этому поводу читаем: Спевсипп и Амфином
"придерживались того взгляда, что наукам о духовном (Geisteswissenschaften)
приличествует скорее название теорем, чем проблем, поскольку они занимаются
непреходящим предметом. Ибо в сфере непреходящего не существует
становления, так что в ней нет места для проблемы, которая предполагает
становление и создание чего-то такого, чего до этого не было, как,
например, построение равностороннего треугольника или построение квадрата с
данной стороной... Согласно им, следовательно, правильнее сказать, что все
есть одно и то же и что мы рассматриваем его становление не деятельным, а
познающим способом, тем, что берем вечно сущее как нечто становящееся,
поэтому мы скажем, что все следует брать в смысле теорем, а не проблем.
Другие же, как, например, школа математики Менехма, хотят характеризовать
весь комплекс как проблемы. Но задача при этом является двойственной: она
означает то изобретение чего-то искомого, то исследование определенного
объекта с целью узнать, что он такое, или каким свойством обладает, или в
каком отношении он находится к другому объекту".
В приведенном отрывке мы находим положения, проливающие дополнительный свет
на позицию Спевсиппа: когда мы обращаемся к геометрическому объекту,
например равностороннему треугольнику, то мы не просто познаем вечно-сущую
идею, а "берем вечно-сущее как нечто становящееся". Главное расхождение
Спевсиппа с Менехмом касается, стало быть, не вопроса о том, что такое
треугольник: вечно-сущая идея или конструкция, порождаемая нами самими, а
вопроса о том, как понимать это рассмотрение становления - как деятельность
(т.е. как построение) или как познание.
На этот момент, во-видимому, Цейтен не обратил достаточного внимания. Нам
кажется, что произошло это вот по какой причине. Всем известно, что Платон
критиковал современных ему математиков за то, что те пользовались
определенными механическими орудиями для решения математических задач, в
том числе и для построения фигур. Ясно также, какие орудия нужны для
выполнения первых трех постулатов Евклида: линейка и циркуль. Естественно
поэтому, что приведенные Проклом соображения Спевсиппа против построения
как доказательства существования геометрических объектов были восприняты
как прямое продолжение возражений Платона, направленных против
"использования вспомогательных инструментов". Отсюда возникла и мысль, что
Платон и Спевсипп считали геометрические объекты существующими реально от
века, подобно вечным и неизменным идеям.
В то же время вывод этот не вытекает непосредственно из наличных
свидетельств древних авторов. Более того, утверждение Спевсиппа, что
геометрические объекты представляют собой "вечно сущее в становлении",
указывает на то, что эти объекты имеют несколько иной онтологический
статус, чем идеи. Но, прежде чем внести ясность в этот вопрос, посмотрим,
за что Платон критиковал современных ему математиков.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
равнобедренных треугольниках углы при основании равны, то можно сказать,
что он формулирует теорему, ибо невозможно, чтобы в каком-нибудь
равнобедренном треугольнике углы при основании не были равны".
Таким образом, теорема - это теоретическое утверждение, в котором
определенному объекту приписывается свойство, которое ему присуще с
необходимостью.
Проблема же - это скорее практическая задача, которая выполняется
определенным способом, и нужно найти эти способы, изобрести их и выполнить
требуемое построение. Характерной особенностью задачи (проблемы) является
то, что требуемое построение - отнюдь не единственно возможное: при
заданных условиях можно осуществить и другое построение.
Теорема представляет собой утверждение, противоположное которому будет
неистинным; к проблеме же определение "истинно - неистинно" не может быть
применено.
Указав на различие между теоремами и проблемами, Прокл переходит к
рассмотрению аксиом и постулатов. "Общим для аксиом и постулатов, - пишет
он, - является то, что они не нуждаются ни в каком обосновании и ни в каком
геометрическом доказательстве, но что они принимаются как известные и
являются началами для последующего. Но аксиомы отличаются от постулатов так
же, как теоремы от проблем. А именно, подобно тому как в случае теорем мы
ставили задачу усмотреть и понять следствие из предпосылок, а в случае
проблем получаем требование что-то найти и сделать, точно так же и в случае
аксиом принимается то, что сразу видно и не представляет никаких
затруднений для нашего необученного (ungeschulten) мышления. Но в случае
постулатов мы пытаемся найти то, что легко получить и установить и
относительно чего рассудок не затрудняется, не нуждается ни в каком сложном
методе и ни в какой конструкции".
Если мы оставим в стороне весьма сложный и на протяжении многих веков
дискутировавшийся среди математиков и философов вопрос о двух последних
постулатах (4 и 5-й) и некоторых аксиомах (7 и 9-ъ), то с различением,
которое здесь приводит Прокл, трудно не согласиться.
Из дальнейшего сообщения Прокла мы узнаем, что еще до Евклида греческие
математики и философы обсуждали значение недоказуемых предпосылок в
геометрии. Ученик Платона Спевсипп не соглашался с математиком Менехмом,
учеником Евдокса; их спор был продолжением полемики самого Платона с
Архитом, Евдоксом и другими математиками относительно применимости в
геометрии принципа построения. Во всяком случае, Г.Г. Цейтен считает, что
спор между Менехмом и Спевсиппом подобен тому, который начался еще раньше
между Евдоксом и Платоном, и что этот спор касается доказательства
существования геометрических объектов. "...Платоники, - пишет Цейтен, -
утверждали, что равносторонний треугольник существует до построения его,
Менехм же, очевидно, должен был доказывать, что в его реальном
существовании мы убеждаемся, лишь построив его и доказав при этом, что это
построение приводит действительно к преследуемой им цели. Но так именно
поступает Евклид: он не довольствуется определением равносторонних
треугольников; прежде чем начать пользоваться ими, он убеждается в их
существовании, решив в первой теореме своей первой книги задачу о
построении этих треугольников; затем он доказывает правильность этого
построения".
Цейтен считает, что этот спор имеет принципиальное значение с точки зрения
платоника Спевсиппа, существование геометрических объектов (того же
равностороннего треугольника) не может быть доказано с помощью построения,
ибо геометрические объекты тождественны идеям и существуют от века, а
Менехм и вслед за ним Евклид не согласны со Спевсиппом. Что касается
названных математиков, то их позицию Цейтен характеризует следующим
образом: "Основное значение геометрического построения заключается в
доказательстве реального существования того самого объекта, к нахождению
которого приводит это построение". К этой позиции присоединяется и сам
Цейтен, считая, что постулаты Евклида представляют собой доказательства
существования геометрических объектов: первый постулат - доказательство
существования отрезка прямой, второй - неограниченно продолженной прямой,
третий - круга.
И действительно, у Прокла по этому поводу читаем: Спевсипп и Амфином
"придерживались того взгляда, что наукам о духовном (Geisteswissenschaften)
приличествует скорее название теорем, чем проблем, поскольку они занимаются
непреходящим предметом. Ибо в сфере непреходящего не существует
становления, так что в ней нет места для проблемы, которая предполагает
становление и создание чего-то такого, чего до этого не было, как,
например, построение равностороннего треугольника или построение квадрата с
данной стороной... Согласно им, следовательно, правильнее сказать, что все
есть одно и то же и что мы рассматриваем его становление не деятельным, а
познающим способом, тем, что берем вечно сущее как нечто становящееся,
поэтому мы скажем, что все следует брать в смысле теорем, а не проблем.
Другие же, как, например, школа математики Менехма, хотят характеризовать
весь комплекс как проблемы. Но задача при этом является двойственной: она
означает то изобретение чего-то искомого, то исследование определенного
объекта с целью узнать, что он такое, или каким свойством обладает, или в
каком отношении он находится к другому объекту".
В приведенном отрывке мы находим положения, проливающие дополнительный свет
на позицию Спевсиппа: когда мы обращаемся к геометрическому объекту,
например равностороннему треугольнику, то мы не просто познаем вечно-сущую
идею, а "берем вечно-сущее как нечто становящееся". Главное расхождение
Спевсиппа с Менехмом касается, стало быть, не вопроса о том, что такое
треугольник: вечно-сущая идея или конструкция, порождаемая нами самими, а
вопроса о том, как понимать это рассмотрение становления - как деятельность
(т.е. как построение) или как познание.
На этот момент, во-видимому, Цейтен не обратил достаточного внимания. Нам
кажется, что произошло это вот по какой причине. Всем известно, что Платон
критиковал современных ему математиков за то, что те пользовались
определенными механическими орудиями для решения математических задач, в
том числе и для построения фигур. Ясно также, какие орудия нужны для
выполнения первых трех постулатов Евклида: линейка и циркуль. Естественно
поэтому, что приведенные Проклом соображения Спевсиппа против построения
как доказательства существования геометрических объектов были восприняты
как прямое продолжение возражений Платона, направленных против
"использования вспомогательных инструментов". Отсюда возникла и мысль, что
Платон и Спевсипп считали геометрические объекты существующими реально от
века, подобно вечным и неизменным идеям.
В то же время вывод этот не вытекает непосредственно из наличных
свидетельств древних авторов. Более того, утверждение Спевсиппа, что
геометрические объекты представляют собой "вечно сущее в становлении",
указывает на то, что эти объекты имеют несколько иной онтологический
статус, чем идеи. Но, прежде чем внести ясность в этот вопрос, посмотрим,
за что Платон критиковал современных ему математиков.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99