еще большее неравенство
имеется при кубической степени четырех, где численность 3, показывающая,
сколько раз число, служащее единицей, должно быть помножено само на себя,
отлична от этого числа. - Эти определения имеются в себе как сущностное
различие понятия, - численность и единица, и для того чтобы
выхождение-вовне-себя целиком оказалось возвра-щением-внутрь-себя, они
должны быть выравнены. В только что изложенном заключается, далее,
основание, почему, с одной стороны, решение уравнений высших степеней должно
состоять в приведении их к квадратным уравнениям, и почему, с другой
стороны, уравнения нечетных степеней могут быть определены лишь формально, и
как раз, когда корни рациональны, они могут быть найдены не иначе как при
помощи мнимого выражения, противоположного корням и тому, чтб они выражают.
- Согласно сказанному, только арифметический квадрат содержит в себе
безусловную определенность (Schlechthin-Bestimintsein), вследствие чего
уравнения дальнейших формальных степеней должны быть приведены к нему; точно
так же как в геометрии прямоугольный треугольник содержит безусловную
внутри-себя-опре-деленность, выраженную в Пифагоровой теореме, и поэтому для
полного определения всех прочих геометрических фигур они должны быть сведены
к нему.
В преподавании, продвигающемся согласно логически построенному суждению,
изложение учения о степенях предшествует изложению учения о пропорциях;
последние, правда, примыкают к различию между единицей и численностью,
составляющему определение второго арифметического действия, однако они
выходят за пределы "одного" как непосредственного определенного количества,
в котором единица и численность суть лишь моменты;
дальнейшее определение по этим моментам остается для него самого также
еще внешним. В отношении число уже не есть непосредственное определенное
количество; последнее имеет в этом случае свою определенность как
опосредствование; количественное " отношение мы рассмотрим далее.
Об указанном выше дальнейшем определении арифметических действий можно
сказать, что оно не есть философствование о них, не есть, скажем,
разъяснение их внутреннего значения, потому что оно действительно не
имманентное развитие понятия. Философия же должна уметь различать то, чтб по
своей природе есть внешний самому себе материал, [должна знать], что в таком
материале развитие понятия может происходить лишь внешним образом и что
моменты этого развития могут существовать лишь в присущей им форме
внешности, каковы здесь равенство и неравенство. Различение сфер, к которым
принадлежит та или другая определенная форма понятия, т. е. имеющаяся как
существование, есть важное условие философствования о реальных предметах,
необходимое для того, чтобы мы, оперируя идеями, не нарушали особенности
внешнего и случайного и чтобы мы не искажали этих идей и не делали их
формальными из-за неадекватности материала. Но внешний характер, при котором
выявляются моменты понятия в указанном выше внешнем материале - в числе,
есть здесь адекватная форма; так как они представляют нам предмет в
рассудочном понимании его, а также ввиду того, что они не требуют никакого
спекулятивного подхода и потому кажутся легкими, их стоит применять в
элементарных учебниках.
Примечание 2 [Употребление числовых определений для выражения философских
понятий]
Как известно, Пифагор изображал в числах разумные отношения или
философемы, да и в новейшее время философия применяла числа и формы их
соотношений, как, например, степени и т. п., для упорядочения мыслей в
соответствии с ними или выражения ими мыслей. - С педагогической точки
зрения число признавалось наиболее подходящим предметом внутреннего
созерцания, а занятие вычислением его отношений - деятельностью духа, в
которой он делает наглядными свои подлинные отношения и вообще основные
отношения сущности. - В какой мере эта высокая ценность принадлежит числу,
видно из его понятия, каким оно получилось выше.
Число предстало перед нами как абсолютная определенность количества, а
его стихия - как различие, ставшее безразличным;. оно оказалось
определенностью в себе, которая в то же время положена лишь совершенно
внешне. Арифметика - аналитическая наука, так как все относящиеся к ее
предмету связи и различия не находятся в нем самом, а навязаны ему
совершенно извне. Она не имеет конкретного предмета, который содержал бы
внутренние отношения, которые первоначально скрыты для знания, не даны в
непосредственном представлении о нем, ;i должны быть выявлены лишь усилиями
познавания. Она нс только не содержит понятия и, следовательно, задачи, для
постигающего в понятиях (fur das begreifende) мышления, но есть его
противоположность. Из-за безразличия приведенного в связь к самой этой
связи, которой недостает необходимости, мышление занимает здесь
деятельность, которая есть в то же время самое крайнее отчуждение
(Entausserung) от самого себя, занимается насильственной деятельностью, -
оно движется в сфере без-мыслия и приводит в связь то, чтб не способно быть
необходимым. Предметом [здесь ] служит абстрактна" мысль о самой внешности
(Ausserlichkeit).
Будучи такой мыслью о внешности, число есть в то же время абстракция от
чувственного многообразия; от чувственного оно сохранило только абстрактное
определение внешности; благодаря этому в числе чувственное ближе всего
подведено к мысли. Число есть чистая мысль о самоотчуждении мысли.
Возвышающийся над чувственным миром и познающий свою сущность дух, ища
стихию для своего чистого представления для выражения своей сущности, может
поэтому до того, как постигнет, что эта стихия есть сама мысль, и обретет
для ее изображения чисто духовное выражение, вздумать избрать для этого
число, эту внутреннюю, абстрактную внешность. Поэтому мы видим в истории
науки, что уже рано применяли число для выражения философем. Оно составляет
последнюю ступень несовершенства, когда всеобщее берется как обремененное
чувственным. Древние [мыслители] явно сознавали, что число находится
посередине между чувственным и мыслью. Согласно Аристотелю ("Метафизика", I,
5), Платон говорил, что помимо чувственного и идей посередине между ними
находятся математические определения вещей; от чувственного они отличаются
тем, что они невидимы (вечны) и неподвижны, а от идей - тем, что они суть
нечто .множественное и сходное, между тем как идея лишь всецело тождественна
с собой и внутренне едина. - Более подробное, основательно продуманное
рассуждение об этом Модерата из Кадиса " приводится в Malchi vita Pythagorae
ed. Ritterhus, p. 30 и ел.: то, что пифагорейцам пришла в голову мысль
обратиться к числам, он объясняет тем, что они еще не были в состоянии ясно
постигнуть разумом основные идеи и первые принципы, потому что трудно
мыслить и выразить эти принципы; при преподавании числа хорошо служат для
обозначения; пифагорейцы, между прочим, подражали в этом геометрам, которые,
не умея выражать телесное в мысли, применяют фигуры и говорят, что это -
треугольник, требуя, чтобы не принимали за треугольник предлежащий чертеж, а
лишь представляли себе с его помощью мысль о треугольнике.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281
имеется при кубической степени четырех, где численность 3, показывающая,
сколько раз число, служащее единицей, должно быть помножено само на себя,
отлична от этого числа. - Эти определения имеются в себе как сущностное
различие понятия, - численность и единица, и для того чтобы
выхождение-вовне-себя целиком оказалось возвра-щением-внутрь-себя, они
должны быть выравнены. В только что изложенном заключается, далее,
основание, почему, с одной стороны, решение уравнений высших степеней должно
состоять в приведении их к квадратным уравнениям, и почему, с другой
стороны, уравнения нечетных степеней могут быть определены лишь формально, и
как раз, когда корни рациональны, они могут быть найдены не иначе как при
помощи мнимого выражения, противоположного корням и тому, чтб они выражают.
- Согласно сказанному, только арифметический квадрат содержит в себе
безусловную определенность (Schlechthin-Bestimintsein), вследствие чего
уравнения дальнейших формальных степеней должны быть приведены к нему; точно
так же как в геометрии прямоугольный треугольник содержит безусловную
внутри-себя-опре-деленность, выраженную в Пифагоровой теореме, и поэтому для
полного определения всех прочих геометрических фигур они должны быть сведены
к нему.
В преподавании, продвигающемся согласно логически построенному суждению,
изложение учения о степенях предшествует изложению учения о пропорциях;
последние, правда, примыкают к различию между единицей и численностью,
составляющему определение второго арифметического действия, однако они
выходят за пределы "одного" как непосредственного определенного количества,
в котором единица и численность суть лишь моменты;
дальнейшее определение по этим моментам остается для него самого также
еще внешним. В отношении число уже не есть непосредственное определенное
количество; последнее имеет в этом случае свою определенность как
опосредствование; количественное " отношение мы рассмотрим далее.
Об указанном выше дальнейшем определении арифметических действий можно
сказать, что оно не есть философствование о них, не есть, скажем,
разъяснение их внутреннего значения, потому что оно действительно не
имманентное развитие понятия. Философия же должна уметь различать то, чтб по
своей природе есть внешний самому себе материал, [должна знать], что в таком
материале развитие понятия может происходить лишь внешним образом и что
моменты этого развития могут существовать лишь в присущей им форме
внешности, каковы здесь равенство и неравенство. Различение сфер, к которым
принадлежит та или другая определенная форма понятия, т. е. имеющаяся как
существование, есть важное условие философствования о реальных предметах,
необходимое для того, чтобы мы, оперируя идеями, не нарушали особенности
внешнего и случайного и чтобы мы не искажали этих идей и не делали их
формальными из-за неадекватности материала. Но внешний характер, при котором
выявляются моменты понятия в указанном выше внешнем материале - в числе,
есть здесь адекватная форма; так как они представляют нам предмет в
рассудочном понимании его, а также ввиду того, что они не требуют никакого
спекулятивного подхода и потому кажутся легкими, их стоит применять в
элементарных учебниках.
Примечание 2 [Употребление числовых определений для выражения философских
понятий]
Как известно, Пифагор изображал в числах разумные отношения или
философемы, да и в новейшее время философия применяла числа и формы их
соотношений, как, например, степени и т. п., для упорядочения мыслей в
соответствии с ними или выражения ими мыслей. - С педагогической точки
зрения число признавалось наиболее подходящим предметом внутреннего
созерцания, а занятие вычислением его отношений - деятельностью духа, в
которой он делает наглядными свои подлинные отношения и вообще основные
отношения сущности. - В какой мере эта высокая ценность принадлежит числу,
видно из его понятия, каким оно получилось выше.
Число предстало перед нами как абсолютная определенность количества, а
его стихия - как различие, ставшее безразличным;. оно оказалось
определенностью в себе, которая в то же время положена лишь совершенно
внешне. Арифметика - аналитическая наука, так как все относящиеся к ее
предмету связи и различия не находятся в нем самом, а навязаны ему
совершенно извне. Она не имеет конкретного предмета, который содержал бы
внутренние отношения, которые первоначально скрыты для знания, не даны в
непосредственном представлении о нем, ;i должны быть выявлены лишь усилиями
познавания. Она нс только не содержит понятия и, следовательно, задачи, для
постигающего в понятиях (fur das begreifende) мышления, но есть его
противоположность. Из-за безразличия приведенного в связь к самой этой
связи, которой недостает необходимости, мышление занимает здесь
деятельность, которая есть в то же время самое крайнее отчуждение
(Entausserung) от самого себя, занимается насильственной деятельностью, -
оно движется в сфере без-мыслия и приводит в связь то, чтб не способно быть
необходимым. Предметом [здесь ] служит абстрактна" мысль о самой внешности
(Ausserlichkeit).
Будучи такой мыслью о внешности, число есть в то же время абстракция от
чувственного многообразия; от чувственного оно сохранило только абстрактное
определение внешности; благодаря этому в числе чувственное ближе всего
подведено к мысли. Число есть чистая мысль о самоотчуждении мысли.
Возвышающийся над чувственным миром и познающий свою сущность дух, ища
стихию для своего чистого представления для выражения своей сущности, может
поэтому до того, как постигнет, что эта стихия есть сама мысль, и обретет
для ее изображения чисто духовное выражение, вздумать избрать для этого
число, эту внутреннюю, абстрактную внешность. Поэтому мы видим в истории
науки, что уже рано применяли число для выражения философем. Оно составляет
последнюю ступень несовершенства, когда всеобщее берется как обремененное
чувственным. Древние [мыслители] явно сознавали, что число находится
посередине между чувственным и мыслью. Согласно Аристотелю ("Метафизика", I,
5), Платон говорил, что помимо чувственного и идей посередине между ними
находятся математические определения вещей; от чувственного они отличаются
тем, что они невидимы (вечны) и неподвижны, а от идей - тем, что они суть
нечто .множественное и сходное, между тем как идея лишь всецело тождественна
с собой и внутренне едина. - Более подробное, основательно продуманное
рассуждение об этом Модерата из Кадиса " приводится в Malchi vita Pythagorae
ed. Ritterhus, p. 30 и ел.: то, что пифагорейцам пришла в голову мысль
обратиться к числам, он объясняет тем, что они еще не были в состоянии ясно
постигнуть разумом основные идеи и первые принципы, потому что трудно
мыслить и выразить эти принципы; при преподавании числа хорошо служат для
обозначения; пифагорейцы, между прочим, подражали в этом геометрам, которые,
не умея выражать телесное в мысли, применяют фигуры и говорят, что это -
треугольник, требуя, чтобы не принимали за треугольник предлежащий чертеж, а
лишь представляли себе с его помощью мысль о треугольнике.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281