Хрущовский применил методы математической логики для совершенно классического раздела математики - для теории чисел и алгебраической геометрии. Это такие как бы священные коровы, которым молятся. И оказалось, что даже для решения таких серьёзных, вернее, классических вопросов, методы теории моделей, математической логики, тоже применимы. А ещё один этап, тут я хочу говорить о своих собственных последних работах, связан со следующим. Тут небольшое отступление всё-таки требуется.
Развитие всякой науки, в том числе и математики, сопровождается не только постановками задач и их решениями, но и развитием понятийного аппарата, ведением понятий. Причём, ведение правильных понятий на самом деле является очень существенным, и часто введение плодотворного понятия является столь продуктивным, что вызывает взрывную реакцию и проникновение понимания в существо вещей. Так вот, мне удалось применить математическую логику и её средства для того, чтобы ввести в обиход понятия, которые важны для классических теорий. Итак, Мальцев применил математическую логику для современной математики, Хрущовский для решения вопросов классической математики, а я предложил некоторые понятия для классической математики, в том числе и для теории чисел. То есть один из наиболее таких развитых разделов для теории чисел, а теория чисел - это одна из самых первых математических теорий.
В конце 19 - начале 20 века была доказана так называемая «теория полей классов». Не буду говорить, что это такое, но до решения проблемы Ферма считалось, что это вершина в теории чисел. И те понятия, которые вводились для формулировки этой теории, они обладали определёнными недостатками, так скажем. А техника математической логики позволила предложить понятия, которые могут быть использованы вместо тех понятий и, на мой взгляд, более глубоко проникнуть в существо вопроса. Боюсь, что вдаваться в детали здесь всё равно сложно. Я просто хотел этот ряд подчеркнуть: логика, начав с того, что продемонстрировала свою мощь в современной математике, потом оказалась применимой и для решения классических вопросов, а сейчас начинает покушаться и на понятийный аппарат классической математики. Так что это одна из линий развития. Есть и другие.
Я уже упомянул о том, что создание математической логики послужило, в частности, важным элементом в развитии компьютеров, и там есть свои формальные языки, языки программирования, и так далее, и так далее. Эта линия тоже сама по себе развивается и весьма успешно, и там возникают очень интересные, в том числе математические вопросы. Так что математическая логика, ещё раз говорю, возникнув как некоторый охранительный механизм, неожиданно, на самом деле неожиданно, оказалась весьма и весьма мощным орудием, которое применимо практически во всех разделах математики.
Для слушателей или зрителей нашей программы, может, я чересчур увлёкся, уйдя внутрь математики, может быть, полезно вернуться к теореме Гёделя о неполноте, о которой я говорил, что она волнует и философов, и, может быть, часть обычных людей. Есть такое представление, что она демонстрирует ограничения человеческого разума, и так далее, и так далее. Если на это взглянуть изнутри математики, то на самом деле там особых тайн нет, это очень похоже на такие парадоксы, уже не относящиеся к математике, как «парадокс лжеца», который демонстрирует следующее. Обычно люди считают, что каждое высказывание можно каким-то правдоподобным образом оценить, является оно истинным или ложным. Конечно, можно накладывать определённые условия и так далее, но можно оценить, вернее, можно придать истинностное значение - истинное или ложное это высказывание. Но ещё со времён греков известен «парадокс лжеца». Один критянин говорит: «все критяне - лжецы». Что соответствовало исторической легенде, по крайней мере. Простодушная попытка оценить, истинно это высказывание или нет, показывает, что не всё так просто. Если он сказал правду, значит, он критянин и сказал правду. Хорошо, а если он обманул, тогда приходим к другому противоречию.
И теорема Гёделя, во всяком случае, её доказательство, используя определённые находки, довольно любопытные технические находки, в некотором смысле моделирует этот парадокс. У Гильберта, которого я уже упоминал, была уверенность, что можно создать такую систему аксиом для всей математики, из которой будут следовать все математические утверждения. Это такая вера была. И он предложил программу формализации математики. А Гёдель, собственно, его опроверг. Он показал, что если аксиоматическая система достаточно богата, то в ней обязательно можно сформулировать утверждение, которое не может быть доказано, но которое будет верным. А в основе этого лежит следующее, что и для этого требуется не весь язык математики, а язык, который говорит просто о натуральных числах, 0, 1, 2, 3, о сложении и умножении. Язык достаточно ограниченный. Но если использовать такой способ, который называется нумерация, то есть если занумеровать все формальные выражения с помощью чисел (а эти утверждения формального языка сами говорят о числах), то можно говорить о самих себя. Проблема самоприменимости кодируется, используя нумерации. То есть сам подход математически был весьма оригинальным, а дальше уже само рассуждение и приведение к противоречию получается достаточно просто.
А.Г. Если позволите, два вопроса, поскольку у нас не так много времени осталось. Первый касается как раз теоремы Ферма. Все ли доказательства равноценны? Потому что ведь Ферма наверняка имел в виду некое другое доказательство собственной теоремы, а не то, которое получил американец, если не ошибаюсь…
Ю.Е. Эндрю Уайлс.
А.Г. …Эндрю Уайлс 300 лет спустя. И таким образом, можно ли считать теорему Ферма доказанной? Это первый вопрос.
Ю.Е. Безусловно, так, как эта теорема сформулирована, в таком виде Уайлс её и доказал. Использовал ли он те средства, которые были доступны Ферма? Ответ - безусловно, нет. Я уже об этом говорил, в доказательстве Уайлса используются очень современные средства, причём, которые создавались в течение многих лет. Так что это, безусловно, не то, на что надеялся или о чём заявил Ферма. Известно, что он заявил, что «поля книги слишком малы для того, чтобы я смог воспроизвести то удивительное доказательство, которое я нашёл». Но, тем не менее, многовековая экспертная оценка утверждает, что, по-видимому, Ферма всё-таки не имел доказательства.
А.Г. И второй вопрос. То, что является священной коровой для одних наук, естественных, скажем, для физики, и что формулируется как принцип Оккама или бритва Оккама - отсекай ненужные сущности - в математике напрочь опровергается, судя по вашим словам. То есть математика создаёт сущности на каждом шагу и оказывается, что они необходимы для существования самой математики.
Ю.Е. Не совсем так. Дело в том, что идёт отбор этих сущностей. Они создаются, они пробуются. Те сущности, которые себя оправдывают, они остаются. А те, которые, как говорится, не подтвердили свою полезность, свою нужность, они просто отпадают. И в этом отношении, кстати, на математику можно смотреть и как на экспериментальную науку. Математики создают орудия, пробуют их, выбрасывают ненужные и оставляют нужные.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
Развитие всякой науки, в том числе и математики, сопровождается не только постановками задач и их решениями, но и развитием понятийного аппарата, ведением понятий. Причём, ведение правильных понятий на самом деле является очень существенным, и часто введение плодотворного понятия является столь продуктивным, что вызывает взрывную реакцию и проникновение понимания в существо вещей. Так вот, мне удалось применить математическую логику и её средства для того, чтобы ввести в обиход понятия, которые важны для классических теорий. Итак, Мальцев применил математическую логику для современной математики, Хрущовский для решения вопросов классической математики, а я предложил некоторые понятия для классической математики, в том числе и для теории чисел. То есть один из наиболее таких развитых разделов для теории чисел, а теория чисел - это одна из самых первых математических теорий.
В конце 19 - начале 20 века была доказана так называемая «теория полей классов». Не буду говорить, что это такое, но до решения проблемы Ферма считалось, что это вершина в теории чисел. И те понятия, которые вводились для формулировки этой теории, они обладали определёнными недостатками, так скажем. А техника математической логики позволила предложить понятия, которые могут быть использованы вместо тех понятий и, на мой взгляд, более глубоко проникнуть в существо вопроса. Боюсь, что вдаваться в детали здесь всё равно сложно. Я просто хотел этот ряд подчеркнуть: логика, начав с того, что продемонстрировала свою мощь в современной математике, потом оказалась применимой и для решения классических вопросов, а сейчас начинает покушаться и на понятийный аппарат классической математики. Так что это одна из линий развития. Есть и другие.
Я уже упомянул о том, что создание математической логики послужило, в частности, важным элементом в развитии компьютеров, и там есть свои формальные языки, языки программирования, и так далее, и так далее. Эта линия тоже сама по себе развивается и весьма успешно, и там возникают очень интересные, в том числе математические вопросы. Так что математическая логика, ещё раз говорю, возникнув как некоторый охранительный механизм, неожиданно, на самом деле неожиданно, оказалась весьма и весьма мощным орудием, которое применимо практически во всех разделах математики.
Для слушателей или зрителей нашей программы, может, я чересчур увлёкся, уйдя внутрь математики, может быть, полезно вернуться к теореме Гёделя о неполноте, о которой я говорил, что она волнует и философов, и, может быть, часть обычных людей. Есть такое представление, что она демонстрирует ограничения человеческого разума, и так далее, и так далее. Если на это взглянуть изнутри математики, то на самом деле там особых тайн нет, это очень похоже на такие парадоксы, уже не относящиеся к математике, как «парадокс лжеца», который демонстрирует следующее. Обычно люди считают, что каждое высказывание можно каким-то правдоподобным образом оценить, является оно истинным или ложным. Конечно, можно накладывать определённые условия и так далее, но можно оценить, вернее, можно придать истинностное значение - истинное или ложное это высказывание. Но ещё со времён греков известен «парадокс лжеца». Один критянин говорит: «все критяне - лжецы». Что соответствовало исторической легенде, по крайней мере. Простодушная попытка оценить, истинно это высказывание или нет, показывает, что не всё так просто. Если он сказал правду, значит, он критянин и сказал правду. Хорошо, а если он обманул, тогда приходим к другому противоречию.
И теорема Гёделя, во всяком случае, её доказательство, используя определённые находки, довольно любопытные технические находки, в некотором смысле моделирует этот парадокс. У Гильберта, которого я уже упоминал, была уверенность, что можно создать такую систему аксиом для всей математики, из которой будут следовать все математические утверждения. Это такая вера была. И он предложил программу формализации математики. А Гёдель, собственно, его опроверг. Он показал, что если аксиоматическая система достаточно богата, то в ней обязательно можно сформулировать утверждение, которое не может быть доказано, но которое будет верным. А в основе этого лежит следующее, что и для этого требуется не весь язык математики, а язык, который говорит просто о натуральных числах, 0, 1, 2, 3, о сложении и умножении. Язык достаточно ограниченный. Но если использовать такой способ, который называется нумерация, то есть если занумеровать все формальные выражения с помощью чисел (а эти утверждения формального языка сами говорят о числах), то можно говорить о самих себя. Проблема самоприменимости кодируется, используя нумерации. То есть сам подход математически был весьма оригинальным, а дальше уже само рассуждение и приведение к противоречию получается достаточно просто.
А.Г. Если позволите, два вопроса, поскольку у нас не так много времени осталось. Первый касается как раз теоремы Ферма. Все ли доказательства равноценны? Потому что ведь Ферма наверняка имел в виду некое другое доказательство собственной теоремы, а не то, которое получил американец, если не ошибаюсь…
Ю.Е. Эндрю Уайлс.
А.Г. …Эндрю Уайлс 300 лет спустя. И таким образом, можно ли считать теорему Ферма доказанной? Это первый вопрос.
Ю.Е. Безусловно, так, как эта теорема сформулирована, в таком виде Уайлс её и доказал. Использовал ли он те средства, которые были доступны Ферма? Ответ - безусловно, нет. Я уже об этом говорил, в доказательстве Уайлса используются очень современные средства, причём, которые создавались в течение многих лет. Так что это, безусловно, не то, на что надеялся или о чём заявил Ферма. Известно, что он заявил, что «поля книги слишком малы для того, чтобы я смог воспроизвести то удивительное доказательство, которое я нашёл». Но, тем не менее, многовековая экспертная оценка утверждает, что, по-видимому, Ферма всё-таки не имел доказательства.
А.Г. И второй вопрос. То, что является священной коровой для одних наук, естественных, скажем, для физики, и что формулируется как принцип Оккама или бритва Оккама - отсекай ненужные сущности - в математике напрочь опровергается, судя по вашим словам. То есть математика создаёт сущности на каждом шагу и оказывается, что они необходимы для существования самой математики.
Ю.Е. Не совсем так. Дело в том, что идёт отбор этих сущностей. Они создаются, они пробуются. Те сущности, которые себя оправдывают, они остаются. А те, которые, как говорится, не подтвердили свою полезность, свою нужность, они просто отпадают. И в этом отношении, кстати, на математику можно смотреть и как на экспериментальную науку. Математики создают орудия, пробуют их, выбрасывают ненужные и оставляют нужные.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69