Поэтому другая вещь, которая была нужна, - это создание достаточно богатых формальных языков.
Дело в том, что математика довольно давно начала вводить элементы формального языка - различные обозначения, переменные, знаки для операций, знаки для того же радикала, и так далее. И многие имеют впечатления о математике как о формулах, вот формулы - это элементы формального языка. Но тем не менее, если вы посмотрите даже современные математические журналы, то кроме формул там ещё и довольно большой текст. И математическая логика предложила такие формальные языки, которые включают не только оперативные элементы математики, но и всё содержание математическое может быть изложено на формальном языке. Этим достигался ещё один уровень точности, что поимело, между прочим, любопытные последствия.
Сейчас говорить о влиянии компьютеров на нашу жизнь, это общее место. Понятно, что они завоёвывают всё большее и большее место в нашей жизни. Но если посмотреть, какие люди были у истоков создания первых компьютеров, то мы там увидим Норберта Винера, Алана Тьюринга, ещё ряд людей, я потом, может быть, их назову. Эти люди были математиками, которые начинали свою профессиональную деятельность в области математической логики. Норберт Винер был студентом Бертрана Рассела, известного английского философа, но он был и одним из создателей первых формальных систем. Алан Тьюринг тоже был профессиональный логик. И я думаю, что это осознание, что формальные языки могут быть столь же богаты по выразительным возможностям, как и естественный язык, но точными, с точным и однозначным смыслом, - это позволило им предвидеть, что компьютер - это не есть просто большой арифмометр, а что он может стать, как говорится, интеллектуальным орудием. Так что опыт работы людей в математической логике привёл и к таким, я бы сказал, «сайд-эффектам», как создание компьютеров.
Ну а с точки зрения внутреннего развития, то я уже сказал, что можно считать, что математическая логика на две ступеньки подняла точность математического языка по сравнению с классическим аксиоматическим методом. Но история продолжается. И обнаружились и другие любопытные вещи. Мой учитель, академик Анатолий Иванович Мальцев сделал, на мой взгляд, два очень глубоких открытия, о которых я попытаюсь рассказать, но не в деталях, поскольку это довольно сложно.
Сначала хочу объяснить то удивление, которое, в частности, я испытал (используя некоторый образ, который может быть не совсем корректен в таких научных беседах, но по-другому я не сумею, видимо, объяснить то удивление, а может быть восхищение, которое лично я испытал). Представьте, что какая-то фирма вынуждена создать себе охрану. И вдруг оказывается, что созданная охрана является весьма мощным производителем, то есть даёт удивительный эффект для основной производственной деятельности.
Ну а теперь вернёмся к математике. Так вот, я уже объяснил, что математическая логика была создана как некоторое охранное предприятие. Охрана от противоречий. Как для нынешних фирм система охраны необходима, так и математика нуждалась в определённом охранении. Но казалось бы, ну что тут такого? Но вот оказалось, что языки, в частности один из языков математической логики, так называемое «исчисление предикатов первой ступени», обладает некоторым мощным внутренним математическим свойством. Анатолий Иванович Мальцев в 36 году доказал так называемую Теорему компактности. Не буду говорить, что это такое, но это, так сказать, мощное внутреннее свойство формального языка. А в 41 году Анатолий Иванович продемонстрировал, что только с помощью этого свойства языка можно доказать очень многие теоремы, которые уже в специализированных отделах математики доказывались - так называемые локальные теоремы, причём, разные теоремы разными способами. Они чем-то были похожи, но кроме ощущения того, что они похожи, ничего другого не было.
Оказалось, что большинство из этих локальных теорем - это есть следствие этой локальной теоремы. Что достаточно сформулировать на этом формальном языке соответствующее утверждение с некоторыми ограничениями, и тогда уже как следствие получается эта локальная теорема. Вот здесь я хотел бы сослаться на книгу Пойя - это известный американский учёный, но на самом деле он из Венгрии происходит. Пойя написал книгу, которая у нас была переведена, «Как решать задачу?», она была издана в «Учпедгизе». И там, собственно, рассказывается некоторая эвристика и даются некоторые советы, как решать задачу, как анализировать и так далее. И там, в частности, описываются разные явления, которые при этом возникают. И одно из явлений называется «парадокс изобретателя». Там особенно про изобретателя не идёт речи, но суть состоит в следующем: иногда, решая задачу, полезно взглянуть на неё, может быть, сверху и рассмотреть более общую задачу. И при таком взгляде она становится проще. Я считаю, что открытие локальной теоремы и открытие способа её применения для доказательства серьёзных теорем, которые уже были известны и очень многих новых теорем, это был парадокс изобретателя.
Оказалось, что суть большинства этих локальных теорем - это свойство того формального языка, который используется. Ну, дальше - больше. Теорема компактности привела к созданию одного из наиболее развитых разделов математической логики - так называемой «теории моделей». И здесь прослеживается, на мой взгляд, довольно любопытная эволюция, которую я попытаюсь как-то объяснить. Я для себя использую деление «современная математика» и «классическая математика», достаточно понятное различие. Можно про любую науку сказать - современная и классическая. Но на самом деле, что такое классическая математика и что такое современная? Классическая математика занималась очень ограниченным числом объектов - линия, плоскость, фигуры на плоскости, трехмерное пространство, далее непрерывные функции в трехмерном пространстве. Этим классическая математика занималась многие века.
Современная математика началась, я думаю, с открытия Эвариста Галуа, который для решения классических вопросов о нахождении корней уравнения в радикалах, о которых я уже здесь говорил, предложил ввести некоторые новые вещи. Не те классические объекты, а автоморфизм и конечные группы и так далее. Для решения классических вопросов нужно было ввести новые сущности. И вот с этого, на мой взгляд, начинается современная математика. Но и сейчас изучение классических объектов можно отнести к работам по классической математике. Но необходимо и изучение тех новых конструкций, которые нужны и для внутреннего развития математики, и для решения старых вопросов. Вот знаменитая теорема Ферма, которую несколько столетий пытались решать математики, она была, наконец, решена несколько лет тому назад. Но для её решения, а она была сформулирована в 17-м веке, понадобились совершенно современные методы. И это потребовало нескольких столетий развития математики. Так что существуют классические вопросы и классическая математика и есть современная математика, когда изучаются уже объекты более общей природы.
Так вот первые применения Локальной теоремы, которые Анатолий Иванович делал, касались современной математики. Они относились к теории групп, к теории алгебраических систем, к таким понятиям, которые характеризуют современную математику.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
Дело в том, что математика довольно давно начала вводить элементы формального языка - различные обозначения, переменные, знаки для операций, знаки для того же радикала, и так далее. И многие имеют впечатления о математике как о формулах, вот формулы - это элементы формального языка. Но тем не менее, если вы посмотрите даже современные математические журналы, то кроме формул там ещё и довольно большой текст. И математическая логика предложила такие формальные языки, которые включают не только оперативные элементы математики, но и всё содержание математическое может быть изложено на формальном языке. Этим достигался ещё один уровень точности, что поимело, между прочим, любопытные последствия.
Сейчас говорить о влиянии компьютеров на нашу жизнь, это общее место. Понятно, что они завоёвывают всё большее и большее место в нашей жизни. Но если посмотреть, какие люди были у истоков создания первых компьютеров, то мы там увидим Норберта Винера, Алана Тьюринга, ещё ряд людей, я потом, может быть, их назову. Эти люди были математиками, которые начинали свою профессиональную деятельность в области математической логики. Норберт Винер был студентом Бертрана Рассела, известного английского философа, но он был и одним из создателей первых формальных систем. Алан Тьюринг тоже был профессиональный логик. И я думаю, что это осознание, что формальные языки могут быть столь же богаты по выразительным возможностям, как и естественный язык, но точными, с точным и однозначным смыслом, - это позволило им предвидеть, что компьютер - это не есть просто большой арифмометр, а что он может стать, как говорится, интеллектуальным орудием. Так что опыт работы людей в математической логике привёл и к таким, я бы сказал, «сайд-эффектам», как создание компьютеров.
Ну а с точки зрения внутреннего развития, то я уже сказал, что можно считать, что математическая логика на две ступеньки подняла точность математического языка по сравнению с классическим аксиоматическим методом. Но история продолжается. И обнаружились и другие любопытные вещи. Мой учитель, академик Анатолий Иванович Мальцев сделал, на мой взгляд, два очень глубоких открытия, о которых я попытаюсь рассказать, но не в деталях, поскольку это довольно сложно.
Сначала хочу объяснить то удивление, которое, в частности, я испытал (используя некоторый образ, который может быть не совсем корректен в таких научных беседах, но по-другому я не сумею, видимо, объяснить то удивление, а может быть восхищение, которое лично я испытал). Представьте, что какая-то фирма вынуждена создать себе охрану. И вдруг оказывается, что созданная охрана является весьма мощным производителем, то есть даёт удивительный эффект для основной производственной деятельности.
Ну а теперь вернёмся к математике. Так вот, я уже объяснил, что математическая логика была создана как некоторое охранное предприятие. Охрана от противоречий. Как для нынешних фирм система охраны необходима, так и математика нуждалась в определённом охранении. Но казалось бы, ну что тут такого? Но вот оказалось, что языки, в частности один из языков математической логики, так называемое «исчисление предикатов первой ступени», обладает некоторым мощным внутренним математическим свойством. Анатолий Иванович Мальцев в 36 году доказал так называемую Теорему компактности. Не буду говорить, что это такое, но это, так сказать, мощное внутреннее свойство формального языка. А в 41 году Анатолий Иванович продемонстрировал, что только с помощью этого свойства языка можно доказать очень многие теоремы, которые уже в специализированных отделах математики доказывались - так называемые локальные теоремы, причём, разные теоремы разными способами. Они чем-то были похожи, но кроме ощущения того, что они похожи, ничего другого не было.
Оказалось, что большинство из этих локальных теорем - это есть следствие этой локальной теоремы. Что достаточно сформулировать на этом формальном языке соответствующее утверждение с некоторыми ограничениями, и тогда уже как следствие получается эта локальная теорема. Вот здесь я хотел бы сослаться на книгу Пойя - это известный американский учёный, но на самом деле он из Венгрии происходит. Пойя написал книгу, которая у нас была переведена, «Как решать задачу?», она была издана в «Учпедгизе». И там, собственно, рассказывается некоторая эвристика и даются некоторые советы, как решать задачу, как анализировать и так далее. И там, в частности, описываются разные явления, которые при этом возникают. И одно из явлений называется «парадокс изобретателя». Там особенно про изобретателя не идёт речи, но суть состоит в следующем: иногда, решая задачу, полезно взглянуть на неё, может быть, сверху и рассмотреть более общую задачу. И при таком взгляде она становится проще. Я считаю, что открытие локальной теоремы и открытие способа её применения для доказательства серьёзных теорем, которые уже были известны и очень многих новых теорем, это был парадокс изобретателя.
Оказалось, что суть большинства этих локальных теорем - это свойство того формального языка, который используется. Ну, дальше - больше. Теорема компактности привела к созданию одного из наиболее развитых разделов математической логики - так называемой «теории моделей». И здесь прослеживается, на мой взгляд, довольно любопытная эволюция, которую я попытаюсь как-то объяснить. Я для себя использую деление «современная математика» и «классическая математика», достаточно понятное различие. Можно про любую науку сказать - современная и классическая. Но на самом деле, что такое классическая математика и что такое современная? Классическая математика занималась очень ограниченным числом объектов - линия, плоскость, фигуры на плоскости, трехмерное пространство, далее непрерывные функции в трехмерном пространстве. Этим классическая математика занималась многие века.
Современная математика началась, я думаю, с открытия Эвариста Галуа, который для решения классических вопросов о нахождении корней уравнения в радикалах, о которых я уже здесь говорил, предложил ввести некоторые новые вещи. Не те классические объекты, а автоморфизм и конечные группы и так далее. Для решения классических вопросов нужно было ввести новые сущности. И вот с этого, на мой взгляд, начинается современная математика. Но и сейчас изучение классических объектов можно отнести к работам по классической математике. Но необходимо и изучение тех новых конструкций, которые нужны и для внутреннего развития математики, и для решения старых вопросов. Вот знаменитая теорема Ферма, которую несколько столетий пытались решать математики, она была, наконец, решена несколько лет тому назад. Но для её решения, а она была сформулирована в 17-м веке, понадобились совершенно современные методы. И это потребовало нескольких столетий развития математики. Так что существуют классические вопросы и классическая математика и есть современная математика, когда изучаются уже объекты более общей природы.
Так вот первые применения Локальной теоремы, которые Анатолий Иванович делал, касались современной математики. Они относились к теории групп, к теории алгебраических систем, к таким понятиям, которые характеризуют современную математику.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69