А это невозможно.
Неделимая точка двигаться не может, иначе пришлось бы допустить, что линия
состоит из точек, заключает Аристотель.
Таковы выводы, вытекающие из аристотелевского понимания континуума. Нам
представляется, что аристотелевское учение о непрерывности органически
связано с его методологическим принципом, рассмотренным нами в предыдущих
разделах, а именно с принципом опосредования: подобно тому, как в логике и
метафизике Аристотель ищет средний термин, то, что "лежит между", и
связывает два крайних термина, подобно этому и в основу всей науки о
природе он кладет учение о континууме, согласно которому между любыми двумя
точками (на линии, во времени и т.д.) всегда можно взять среднюю точку. И
как бы "близко" ни были расположены эти две точки, они никогда не могут
мыслиться без посредника между ними: посредничество - бесконечно, ибо
бесконечна делимость.
Аристотелевское учение о непрерывности имеет также непосредственный выход в
математику.
Принцип непрерывности Аристотеля и метод исчерпывания Евдокса
Принцип непрерывности сыграл важную роль в античной математике. Он был
введен в математику старшим современником Аристотеля Евдоксом в виде так
называемой аксиомы непрерывности, которая стала известна как "аксиома
Архимеда", поскольку Архимед указывает ее в числе своих постулатов. Вот как
формулирует ее Архимед: "Требования <постулаты>. Я принимаю следующее...
Что из неравных линий и неравных площадей и неравных тел большее
превосходит меньшее на такую величину, которая, будучи прибавляема к самой
себе, может стать больше, чем любая заданная величина из тех, которые
сравнимы между собой". У Архимеда речь идет о величинах одного измерения,
которые могут быть сравнимы, т.е. могут находиться в отношениях друг к
другу. Эту же аксиому мы находим среди определений V книги "Начал" Евклида,
в которой он излагает теорию отношений Евдокса.
Четвертое определение V книги "Начал" гласит: "Говорят, что величины имеют
отношение между собой, если они, взятые кратко, могут превзойти друг
друга". Как подчеркивает В. Вилейтнер, в этом определении, данном Евклидом,
содержится нечто большее, чем в приведенном выше постулате Архимеда:
"Евклид подобно Архимеду также имеет в виду однородные величины, но вместе
с тем он высказывает нечто большее. Во-первых, Евклид стремится при помощи
своего определения дать возможность находиться в "отношении" также и таким
величинам, которые не имеют общей меры (несоизмеримы)... Во-вторых, Евклид
хочет лишить права находиться в отношении "бесконечно малые" и "бесконечно
большие" образы, как, например, введенные уже древними философами
(Демокрит) последние частицы (атомы, неделимые) отрезка или же всю
бесконечную прямую". Первый момент, о котором говорит Вилейтнер,
подразумевается также и в аксиоме Архимеда; видимо, то большее, что
заключено в евклидовом (т.е., собственно, евдоксовом) определении, сводится
ко второму моменту.
Рассмотрим последовательно каждый из этих моментов. Что касается первого,
то действительно одна из главных задач, возникших перед Евдоксом после
открытия несоизмеримости, состояла в том, чтобы найти способ установления
отношения также и для несоизмеримых величин. До открытия несоизмеримости
математики рассматривали отношения между числами (соизмеримыми величинами).
Для соизмеримых величин, а и b, отношение которых было равно рациональной
дроби EMBED Equation.2 , равенство отношений выражалось пропорцией
a/b = m/n,
т.е. соотношением: na = mb. Иначе говоря, пока отношения выражались целыми
числами, для определения отношения двух величин нужно было меньшую взять
столько раз, сколько необходимо для того, чтобы она сравнялась с большей.
Но для несоизмеримых величин этот способ уже не годится: ибо отношения
между ними невозможно выразить в виде пропорции, члены которой будут
рациональными числами. Чтобы все же иметь возможность устанавливать
отношения несоизмеримых величин, Евдокс предложил такой выход: если для
двух величин а и b, где a > b, можно подобрать такое число n, чтобы меньшая
величина, взятая n раз, превзошла большую, т.е. чтобы было справедливо
неравенство nb > a, то величины а и b находятся между собой в некотором
отношении. В противном же случае можно утверждать, что они не находятся ни
в каком отношении. Аксиома Евдокса делала возможным оперирование также и с
несоизмеримыми величинами и тем самым позволяла если не совсем преодолеть,
то по крайней мере в работе математика нейтрализовать затруднения,
порожденные открытием несоизмеримости.
Греческим математикам были известны так называемые роговидные углы, т.е.
углы, образованные окружностью и касательной к ней (или же двумя кривыми).
Но криволинейные и прямолинейные углы, хотя они и принадлежат к одному роду
величин (углам), не находятся между собой ни в каком отношении, ибо для них
не имеет силы аксиома Евдокса: роговидный угол всегда будет меньше любого
прямолинейного угла. Иначе говоря, "роговидные углы по отношению к любому
прямолинейному являются актуальными бесконечно малыми, или неархимедовыми
величинами"; именно эти величины исключаются аксиомой Евдокса.
Как видим, Евдокс вводит аксиому непрерывности для решения затруднений,
вызванных парадоксом несоизмеримости; аналогичную роль принцип
непрерывности играет и в физике Аристотеля; с его помощью Аристотель хочет
преодолеть парадоксы Зенона, препятствующие всякой попытке построить теорию
движения - физику. Вот как формулирует Аристотель евдоксову аксиому
непрерывности, недвусмысленно показывая, что альтернативой ее будет
парадокс Зенона "Дихотомия": "Если, взявши от конечной величины
определенную часть, снова взять ее в той же пропорции, т.е. не ту же самую
величину, которая взята от целого, то конечную величину нельзя пройти до
конца, если же настолько увеличивать пропорцию, чтобы брать всегда одну и
ту же величину, то пройти можно, так как конечную величину всегда можно
исчерпать любой определенной величиной".
Рассмотрим теперь, что имеет в виду Вилейтнер, говоря о втором моменте,
содержащемся в аксиоме Евдокса: "Евклид хочет лишить права находиться в
отношении "бесконечно малые" и "бесконечно большие" образы". Относительно
"бесконечно малых" мы уже приводили пример роговидных углов, которые не
могут находиться в отношении с прямолинейными. Но аксиома Евдокса, что
нетрудно видеть, не будет иметь силы также и по отношению к бесконечно
большой величине, ибо тогда неравенство nb > a не может быть справедливым;
число n предполагается ведь сколь угодно большим, но конечным числом.
Очевидно, что аксиома Евдокса оказывается непосредственно связанной с
проблемой бесконечного; и решение этой проблемы именно в духе Евдокса мы
находим опять-таки у Аристотеля.
Таким образом, аристотелевская физика, построенная на основе принципа
непрерывности, внутренне связана с математическим мышлением, как оно
воплотилось в "Началах" Евклида; этим и объясняется отчасти то
обстоятельство, что принцип непрерывности Аристотеля не был отменен и в
механике нового времени; и только в связи с открытием неевклидовых
геометрий возникла возможность пересмотра этого принципа.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
Неделимая точка двигаться не может, иначе пришлось бы допустить, что линия
состоит из точек, заключает Аристотель.
Таковы выводы, вытекающие из аристотелевского понимания континуума. Нам
представляется, что аристотелевское учение о непрерывности органически
связано с его методологическим принципом, рассмотренным нами в предыдущих
разделах, а именно с принципом опосредования: подобно тому, как в логике и
метафизике Аристотель ищет средний термин, то, что "лежит между", и
связывает два крайних термина, подобно этому и в основу всей науки о
природе он кладет учение о континууме, согласно которому между любыми двумя
точками (на линии, во времени и т.д.) всегда можно взять среднюю точку. И
как бы "близко" ни были расположены эти две точки, они никогда не могут
мыслиться без посредника между ними: посредничество - бесконечно, ибо
бесконечна делимость.
Аристотелевское учение о непрерывности имеет также непосредственный выход в
математику.
Принцип непрерывности Аристотеля и метод исчерпывания Евдокса
Принцип непрерывности сыграл важную роль в античной математике. Он был
введен в математику старшим современником Аристотеля Евдоксом в виде так
называемой аксиомы непрерывности, которая стала известна как "аксиома
Архимеда", поскольку Архимед указывает ее в числе своих постулатов. Вот как
формулирует ее Архимед: "Требования <постулаты>. Я принимаю следующее...
Что из неравных линий и неравных площадей и неравных тел большее
превосходит меньшее на такую величину, которая, будучи прибавляема к самой
себе, может стать больше, чем любая заданная величина из тех, которые
сравнимы между собой". У Архимеда речь идет о величинах одного измерения,
которые могут быть сравнимы, т.е. могут находиться в отношениях друг к
другу. Эту же аксиому мы находим среди определений V книги "Начал" Евклида,
в которой он излагает теорию отношений Евдокса.
Четвертое определение V книги "Начал" гласит: "Говорят, что величины имеют
отношение между собой, если они, взятые кратко, могут превзойти друг
друга". Как подчеркивает В. Вилейтнер, в этом определении, данном Евклидом,
содержится нечто большее, чем в приведенном выше постулате Архимеда:
"Евклид подобно Архимеду также имеет в виду однородные величины, но вместе
с тем он высказывает нечто большее. Во-первых, Евклид стремится при помощи
своего определения дать возможность находиться в "отношении" также и таким
величинам, которые не имеют общей меры (несоизмеримы)... Во-вторых, Евклид
хочет лишить права находиться в отношении "бесконечно малые" и "бесконечно
большие" образы, как, например, введенные уже древними философами
(Демокрит) последние частицы (атомы, неделимые) отрезка или же всю
бесконечную прямую". Первый момент, о котором говорит Вилейтнер,
подразумевается также и в аксиоме Архимеда; видимо, то большее, что
заключено в евклидовом (т.е., собственно, евдоксовом) определении, сводится
ко второму моменту.
Рассмотрим последовательно каждый из этих моментов. Что касается первого,
то действительно одна из главных задач, возникших перед Евдоксом после
открытия несоизмеримости, состояла в том, чтобы найти способ установления
отношения также и для несоизмеримых величин. До открытия несоизмеримости
математики рассматривали отношения между числами (соизмеримыми величинами).
Для соизмеримых величин, а и b, отношение которых было равно рациональной
дроби EMBED Equation.2 , равенство отношений выражалось пропорцией
a/b = m/n,
т.е. соотношением: na = mb. Иначе говоря, пока отношения выражались целыми
числами, для определения отношения двух величин нужно было меньшую взять
столько раз, сколько необходимо для того, чтобы она сравнялась с большей.
Но для несоизмеримых величин этот способ уже не годится: ибо отношения
между ними невозможно выразить в виде пропорции, члены которой будут
рациональными числами. Чтобы все же иметь возможность устанавливать
отношения несоизмеримых величин, Евдокс предложил такой выход: если для
двух величин а и b, где a > b, можно подобрать такое число n, чтобы меньшая
величина, взятая n раз, превзошла большую, т.е. чтобы было справедливо
неравенство nb > a, то величины а и b находятся между собой в некотором
отношении. В противном же случае можно утверждать, что они не находятся ни
в каком отношении. Аксиома Евдокса делала возможным оперирование также и с
несоизмеримыми величинами и тем самым позволяла если не совсем преодолеть,
то по крайней мере в работе математика нейтрализовать затруднения,
порожденные открытием несоизмеримости.
Греческим математикам были известны так называемые роговидные углы, т.е.
углы, образованные окружностью и касательной к ней (или же двумя кривыми).
Но криволинейные и прямолинейные углы, хотя они и принадлежат к одному роду
величин (углам), не находятся между собой ни в каком отношении, ибо для них
не имеет силы аксиома Евдокса: роговидный угол всегда будет меньше любого
прямолинейного угла. Иначе говоря, "роговидные углы по отношению к любому
прямолинейному являются актуальными бесконечно малыми, или неархимедовыми
величинами"; именно эти величины исключаются аксиомой Евдокса.
Как видим, Евдокс вводит аксиому непрерывности для решения затруднений,
вызванных парадоксом несоизмеримости; аналогичную роль принцип
непрерывности играет и в физике Аристотеля; с его помощью Аристотель хочет
преодолеть парадоксы Зенона, препятствующие всякой попытке построить теорию
движения - физику. Вот как формулирует Аристотель евдоксову аксиому
непрерывности, недвусмысленно показывая, что альтернативой ее будет
парадокс Зенона "Дихотомия": "Если, взявши от конечной величины
определенную часть, снова взять ее в той же пропорции, т.е. не ту же самую
величину, которая взята от целого, то конечную величину нельзя пройти до
конца, если же настолько увеличивать пропорцию, чтобы брать всегда одну и
ту же величину, то пройти можно, так как конечную величину всегда можно
исчерпать любой определенной величиной".
Рассмотрим теперь, что имеет в виду Вилейтнер, говоря о втором моменте,
содержащемся в аксиоме Евдокса: "Евклид хочет лишить права находиться в
отношении "бесконечно малые" и "бесконечно большие" образы". Относительно
"бесконечно малых" мы уже приводили пример роговидных углов, которые не
могут находиться в отношении с прямолинейными. Но аксиома Евдокса, что
нетрудно видеть, не будет иметь силы также и по отношению к бесконечно
большой величине, ибо тогда неравенство nb > a не может быть справедливым;
число n предполагается ведь сколь угодно большим, но конечным числом.
Очевидно, что аксиома Евдокса оказывается непосредственно связанной с
проблемой бесконечного; и решение этой проблемы именно в духе Евдокса мы
находим опять-таки у Аристотеля.
Таким образом, аристотелевская физика, построенная на основе принципа
непрерывности, внутренне связана с математическим мышлением, как оно
воплотилось в "Началах" Евклида; этим и объясняется отчасти то
обстоятельство, что принцип непрерывности Аристотеля не был отменен и в
механике нового времени; и только в связи с открытием неевклидовых
геометрий возникла возможность пересмотра этого принципа.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99