Приписываемое
Пифагору открытие возвращает нас к уже рассмотренной декаде и священной
четверице. "Пифагор открыл, - пишет А.О. Маковельский, - что если заставить
последовательно звучать целую струну, половину ее, две трети и три
четверти, то получим основной тон, октаву его, квинту и, наконец, кварту.
Таким образом, отношения, даваемые длиной струны, будут для октавы 1:2, для
квинты 2:3 и для кварты 3:4. Эти числа представляют прогрессию, в которой 4
термина и 3 интервала. Сумма терминов равна 10, а три последовательных
интервала, 2, 3/2, 4/2, 4/3, согласно чудесному открытию Пифагора, суть
интервалы октавы, квинты и кварты"44.
Мы не будем специально рассматривать вопрос, является ли установление
гармонических интервалов заслугой Пифагора или позднейших пифагорейцев45.
Нам лишь важно подчеркнуть, что это открытие сыграло большую роль для
дальнейшего развития науки о числе, поскольку утверждение "все есть число"
получило свой смысл благодаря тому, что числовые отношения обнаруживались в
самых разных процессах46. Гармония стала у пифагорейцев математическим
понятием, и, что важно, пифагорейская математика и философия оказались
проникнуты понятием гармонии. Это во многом объясняет специфические
особенности античного мышления. Не случайно Аристотель, говоря о
пифагорейцах, не отделяет их учение о гармонии от учения о числе. "...Они
(пифагорейцы. - П.Г.) видели в числах свойства и отношения, присущие
гармоническим сочетаниям. Так как, следовательно, все остальное явным
образом уподоблялось числам по всему своему существу, а числа занимали
первое место во всей природе, элементы чисел они предположили элементами
всех вещей и всю вселенную признали гармонией и числом"47.
Из отрывков сочинения Филолая "О природе" можно получить дополнительные
сведения о том, насколько для пифагорейцев понятия "число" и "гармония"
внутренне связаны между собой. Весь космос, по Филолаю, образовался из двух
начал: предела и беспредельного. Эти начала противоположны. Как же могут
они между собой соединяться? С помощью гармонии, отвечает Филолай.
Гармония, по его определению, есть "соединение разнообразной смеси и
согласие разногласного"48. Согласие разногласного - это определение
гармонии в музыке и оно же, как видим, выступает в качестве основного
принципа устроения мира, в котором противоположности объединяются по
принципу музыкального созвучия, консонанса49.
Но если гармония есть соединение предела и беспредельности, единство этих
противоположностей, то она и есть число, ибо число, как мы уже отмечали
выше, тоже возникает из беспредельного и предела. Печать возникновения из
этих противоположностей лежит на числах; они делятся на четные, в которых
возобладало беспредельное, и нечетные, где возобладал предел. Но и в каждом
из чисел независимо от этого их деления можно видеть присутствие в них
обоих начал, что мы уже отмечали применительно к числу 10.
Гармония и число обнаруживаются пифагорейцами не только в музыке. Согласно
сообщению Аристотеля, пифагорейцы на основании чисел составляли
представление о расположении небесных светил; в движении небесных тел они
видели еще одно подтверждение своего тезиса, что все в мире устроено "в
соответствии с числом". Аналогия между числовыми соотношениями в музыке и в
астрономии породила характерное для пифагорейцев представление о "гармонии
сфер". В раннем пифагореизме движение небесных светил - это как бы их танец
вокруг мирового огня, сопровождаемый музыкой, по красоте и гармоничности
превосходящей земную музыку настолько же, насколько небесные тела
совершеннее земных, а по мощи - настолько, насколько их масса и скорость
превосходят соответственно массу и скорость земных тел50.
Таким образом, в астрономии, музыке, геометрии и арифметике пифагорейцы
увидели общие числовые пропорции, гармонические соотношения, познание
которых, согласно им, и есть познание сущности и устройства мироздания. Из
отрывков, которые древние свидетельства приписывают Филолаю, мы видим, что
пифагорейцы уже в V в. до н.э. размышляли над вопросом о возможности
познания и сформулировали положение, впоследствии ставшее кардинальным для
математического естествознания, а именно: точное знание возможно лишь на
основе математики. Вот слова, приписываемые Филолаю (Стобей Ecl. I prooem.
cor. 3): "Ибо природа числа есть то, что дает познание, направляет и
научает каждого относительно всего, что для него сомнительно и неизвестно.
В самом деле, если бы не было числа и его сущности, то ни для кого не было
бы ничего ясного ни в вещах самих по себе, ни в их отношениях друг к
другу"51. В этом фрагменте сформулирован тот принцип познания, который лег
в основу первой математической "программы". То, в чем не обнаруживается
"природа числа", не может быть предметом познания. То, что не содержит в
себе числа, является, по Филолаю, беспредельным, а беспредельное
непознаваемо.
Эти пифагорейские представления о математическом фундаменте научного знания
получили в IV в. до н.э. теоретическое обоснование и весьма четкое
выражение в сочинениях Платона. У Платона же мы находим изложение
пифагорейского учения о числовых пропорциях геометрических величин, а также
систематизацию различных областей математического знания, соединение их в
единую систему наук. Развитие пифагорейской научной мысли в IV в. до н.э.
оказывается тесно связанным именно с Платоном и его школой. Крупнейший
математик-пифагореец Архит из Тарента был другом Платона, ученик Архита
Евдокс Книдский был связан с Академией и, по преданию, одно время учился у
Платона.
Поэтому рассмотрение пифагорейской математики IV в. до н.э., так же как и
более детальный анализ учения о гармонии, мы будем вести, опираясь, помимо
других источников, на тексты Платона. Платон в своих диалогах часто дает
разъяснение математических понятий - может быть, наиболее близкое духу
пифагореизма.
Однако предварительно необходимо ввести в рассмотрение еще ряд аспектов
математического мышления пифагорейцев, чтобы выяснить направление
дальнейшей эволюции понятия науки в античности.
Числа и вещи
От Аристотеля мы получаем свидетельство о том, что пифагорейцы не проводили
принципиального различия между числами и вещами. "Во всяком случае, -
говорит Аристотель, - у них, по-видимому, число принимается за начало и в
качестве материи для вещей, и в качестве <выражения для> их состояний и
свойств..."52. Сами числа они еще не полностью отделяют от чувственных
вещей и поэтому еще близки к натурфилософам в своем отношении к
чувственному бытию53.
Относительно онтологического статуса числа у пифагорейцев Аристотель
сообщает следующее: "...пифагорейцы признают одно - математическое - число,
только не с отдельным бытием, но, по их словам, чувственные сущности
состоят из этого числа: ибо все небо они устраивают из чисел, только у них
это - не числа, состоящие из <отвлеченных> единиц, но единицам они
приписывают <пространственную> величину; а как получилась величина у
первого единого, это, по-видимому, вызывает затруднение у них" (курсив мой.
- П.Г.)54.
Пространственные вещи у пифагорейцев состоят из чисел.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
Пифагору открытие возвращает нас к уже рассмотренной декаде и священной
четверице. "Пифагор открыл, - пишет А.О. Маковельский, - что если заставить
последовательно звучать целую струну, половину ее, две трети и три
четверти, то получим основной тон, октаву его, квинту и, наконец, кварту.
Таким образом, отношения, даваемые длиной струны, будут для октавы 1:2, для
квинты 2:3 и для кварты 3:4. Эти числа представляют прогрессию, в которой 4
термина и 3 интервала. Сумма терминов равна 10, а три последовательных
интервала, 2, 3/2, 4/2, 4/3, согласно чудесному открытию Пифагора, суть
интервалы октавы, квинты и кварты"44.
Мы не будем специально рассматривать вопрос, является ли установление
гармонических интервалов заслугой Пифагора или позднейших пифагорейцев45.
Нам лишь важно подчеркнуть, что это открытие сыграло большую роль для
дальнейшего развития науки о числе, поскольку утверждение "все есть число"
получило свой смысл благодаря тому, что числовые отношения обнаруживались в
самых разных процессах46. Гармония стала у пифагорейцев математическим
понятием, и, что важно, пифагорейская математика и философия оказались
проникнуты понятием гармонии. Это во многом объясняет специфические
особенности античного мышления. Не случайно Аристотель, говоря о
пифагорейцах, не отделяет их учение о гармонии от учения о числе. "...Они
(пифагорейцы. - П.Г.) видели в числах свойства и отношения, присущие
гармоническим сочетаниям. Так как, следовательно, все остальное явным
образом уподоблялось числам по всему своему существу, а числа занимали
первое место во всей природе, элементы чисел они предположили элементами
всех вещей и всю вселенную признали гармонией и числом"47.
Из отрывков сочинения Филолая "О природе" можно получить дополнительные
сведения о том, насколько для пифагорейцев понятия "число" и "гармония"
внутренне связаны между собой. Весь космос, по Филолаю, образовался из двух
начал: предела и беспредельного. Эти начала противоположны. Как же могут
они между собой соединяться? С помощью гармонии, отвечает Филолай.
Гармония, по его определению, есть "соединение разнообразной смеси и
согласие разногласного"48. Согласие разногласного - это определение
гармонии в музыке и оно же, как видим, выступает в качестве основного
принципа устроения мира, в котором противоположности объединяются по
принципу музыкального созвучия, консонанса49.
Но если гармония есть соединение предела и беспредельности, единство этих
противоположностей, то она и есть число, ибо число, как мы уже отмечали
выше, тоже возникает из беспредельного и предела. Печать возникновения из
этих противоположностей лежит на числах; они делятся на четные, в которых
возобладало беспредельное, и нечетные, где возобладал предел. Но и в каждом
из чисел независимо от этого их деления можно видеть присутствие в них
обоих начал, что мы уже отмечали применительно к числу 10.
Гармония и число обнаруживаются пифагорейцами не только в музыке. Согласно
сообщению Аристотеля, пифагорейцы на основании чисел составляли
представление о расположении небесных светил; в движении небесных тел они
видели еще одно подтверждение своего тезиса, что все в мире устроено "в
соответствии с числом". Аналогия между числовыми соотношениями в музыке и в
астрономии породила характерное для пифагорейцев представление о "гармонии
сфер". В раннем пифагореизме движение небесных светил - это как бы их танец
вокруг мирового огня, сопровождаемый музыкой, по красоте и гармоничности
превосходящей земную музыку настолько же, насколько небесные тела
совершеннее земных, а по мощи - настолько, насколько их масса и скорость
превосходят соответственно массу и скорость земных тел50.
Таким образом, в астрономии, музыке, геометрии и арифметике пифагорейцы
увидели общие числовые пропорции, гармонические соотношения, познание
которых, согласно им, и есть познание сущности и устройства мироздания. Из
отрывков, которые древние свидетельства приписывают Филолаю, мы видим, что
пифагорейцы уже в V в. до н.э. размышляли над вопросом о возможности
познания и сформулировали положение, впоследствии ставшее кардинальным для
математического естествознания, а именно: точное знание возможно лишь на
основе математики. Вот слова, приписываемые Филолаю (Стобей Ecl. I prooem.
cor. 3): "Ибо природа числа есть то, что дает познание, направляет и
научает каждого относительно всего, что для него сомнительно и неизвестно.
В самом деле, если бы не было числа и его сущности, то ни для кого не было
бы ничего ясного ни в вещах самих по себе, ни в их отношениях друг к
другу"51. В этом фрагменте сформулирован тот принцип познания, который лег
в основу первой математической "программы". То, в чем не обнаруживается
"природа числа", не может быть предметом познания. То, что не содержит в
себе числа, является, по Филолаю, беспредельным, а беспредельное
непознаваемо.
Эти пифагорейские представления о математическом фундаменте научного знания
получили в IV в. до н.э. теоретическое обоснование и весьма четкое
выражение в сочинениях Платона. У Платона же мы находим изложение
пифагорейского учения о числовых пропорциях геометрических величин, а также
систематизацию различных областей математического знания, соединение их в
единую систему наук. Развитие пифагорейской научной мысли в IV в. до н.э.
оказывается тесно связанным именно с Платоном и его школой. Крупнейший
математик-пифагореец Архит из Тарента был другом Платона, ученик Архита
Евдокс Книдский был связан с Академией и, по преданию, одно время учился у
Платона.
Поэтому рассмотрение пифагорейской математики IV в. до н.э., так же как и
более детальный анализ учения о гармонии, мы будем вести, опираясь, помимо
других источников, на тексты Платона. Платон в своих диалогах часто дает
разъяснение математических понятий - может быть, наиболее близкое духу
пифагореизма.
Однако предварительно необходимо ввести в рассмотрение еще ряд аспектов
математического мышления пифагорейцев, чтобы выяснить направление
дальнейшей эволюции понятия науки в античности.
Числа и вещи
От Аристотеля мы получаем свидетельство о том, что пифагорейцы не проводили
принципиального различия между числами и вещами. "Во всяком случае, -
говорит Аристотель, - у них, по-видимому, число принимается за начало и в
качестве материи для вещей, и в качестве <выражения для> их состояний и
свойств..."52. Сами числа они еще не полностью отделяют от чувственных
вещей и поэтому еще близки к натурфилософам в своем отношении к
чувственному бытию53.
Относительно онтологического статуса числа у пифагорейцев Аристотель
сообщает следующее: "...пифагорейцы признают одно - математическое - число,
только не с отдельным бытием, но, по их словам, чувственные сущности
состоят из этого числа: ибо все небо они устраивают из чисел, только у них
это - не числа, состоящие из <отвлеченных> единиц, но единицам они
приписывают <пространственную> величину; а как получилась величина у
первого единого, это, по-видимому, вызывает затруднение у них" (курсив мой.
- П.Г.)54.
Пространственные вещи у пифагорейцев состоят из чисел.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99