Против указанных определений очень отстало представление о бесконечно
малых величинах, связанное с [представлением о] самом приращении или
убывании. Согласно этому представлению, бесконечно малые величины таковы,
что можно пренебрегать не только ими самими при сравнении с конечными
величинами, но также их высшими разрядами при сравнении с низшими, а равно и
произведениями нескольких таких величин при сравнении с одной. - У Лейбница
особенно подчеркивается требование такого пренебрежения, которому отдали
дань и предшествующие изобретатели методов, касавшихся этих величин. Прежде
всего именно это пренебрежение придает указанному исчислению, несмотря на
то, что оно удобно, видимость неточности и явной неправильности способа его
действий. - Вольф старался объяснить это пренебрежение [величинами], следуя
своей манере делать общедоступными рассматриваемые им вопросы, т. е. лишать
понятие чистоты и подменять его неправильными чувственными представлениями.
А именно он сравнивает пренебрежение бесконечно малыми разностями высших
разрядов относительно низших с образом действия геометра, при котором
измерение высоты горы нисколько не делается менее точным, если ветер сдунет
песчинку с ее вершины или если не будет принята во внимание высота домов и
башен при вычислении лунных затмений (Element. mathes. univ. Tom I. El.
analys. math. P. II. C. I. S. schol.).
Если снисходительность здравого смысла дозволяет такую неточность, то все
геометры, напротив, отвергали такого рода представление. Сама собой
напрашивается мысль, что в математической науке идет речь вовсе не о такой
эмпирической точности и что математическое измерение посредством ли
вычислении или посредством геометрических построений и доказательств
совершенно отлично от измерения земли, от измерения эмпирических линий,
фигур и т. п. Да и помимо того, как уже было указано выше, аналитики,
сравнивая результаты, получаемые строго геометрическим путем, с
результатами, получаемыми методом бесконечно малых разностей, доказывают,
что они одинаковы и что большая или меньшая точность [здесь] вовсе не имеет
места. А ведь само собой разумеется, что абсолютно точный результат не мог
бы получиться при неточном способе действия. Однако, с другой стороны, сам
способ действия, несмотря на протесты против приведенных в оправдание
доводов, не может обойтись без пренебрежения [величиной ] на том основании,
что она незначительна. И в этом состоит трудность, побуждающая аналитиков
объяснить заключающуюся здесь бессмыслицу и устранить ее.
По этому вопросу следует прежде всего привести мнение Эйлера. Исходя из
общего определения Ньютона, он твердо убежден, что дифференциальное
исчисление рассматривает отношения приращений величины, но что бесконечно
малую разность, как таковую, следует рассматривать как нуль (Institut. calc.
different., р. I. с. III). - Как это надо понимать, видно из изложенного
выше; бесконечно малая разность есть нуль лишь как определенное количество,
а не качественный нуль; а как нуль по количеству она скорее чистый момент
лишь отношения. Она не различие на некоторую величину. Но именно поэтому, с
одной стороны, вообще ошибочно называть моменты, именуемые бесконечно малыми
величинами, также и приращениями или убываниями и разностями. Это
определение исходит из того, что к имеющейся сначала конечной величине
что-то прибавляется или что-то от нее отнимается, что производится некоторое
вычитание или сложение, некоторое арифметическое, внешнее действие. Но что
касается перехода от функции переменной величины к ее дифференциалу, то по
нему видно, что он совершенно другого характера, а именно, как уже было
разъяснено, он должен рассматриваться как сведение конечной функции к
качественному отношению ее количественных определений. - С другой стороны,
сразу бросается в глаза ошибочность утверждения, будто приращения сами по
себе - это нули и будто рассматриваются только их отношения; ведь нуль
вообще уже не имеет никакой определенности. Это представление, стало быть,
хотя и доходит до отрицательности определенного количества и определенно
выражает эту отрицательность, однако в то же время не схватывает ее в ее
положительном значении качественных определений количества, которые, если
хотят вырвать их из отношения и брать их как определенные количества,
окажутся лишь нулями. - Лагранж 109 (Theorie des fonct. analyt. Introd.)
замечает относительно представления о пределах или последних отношениях,
что, хотя и можно очень хорошо представить себе отношение двух величин, пока
они остаются конечными, это отношение не дает рассудку ясного и
определенного понятия, как только его члены становятся одновременно нулями.
- И в самом деле, рассудок должен выйти за пределы той чистой
отрицательности, что как определенные количества члены отношения суть нули,
и понять их положительно как качественные моменты. - А то, что Эйлер (в
указанном месте 84 и ел.) прибавляет еще относительно данного [им ]
определения, чтобы показать, что две так называемые бесконечно малые
величины, которые якобы не что иное, как нули, тем не менее находятся в
отношении друг к другу, и потому для их обозначения пользуются не знаком
нуля, а другими знаками, - нельзя признать удовлетворительным. Он хочет это
обосновать различием между арифметическим и геометрическим отношениями: в
первом мы обращаем внимание на разность, во втором - на частное, и, хотя
арифметическое отношение между двумя нулями [всегда] одинаково, это не
значит, что точно так же обстоит дело с геометрическим отношением; если
2:1-0:0, то по природе пропорции, так как первый член вдвое больше второго,
третий член тоже должен быть вдвое больше четвертого; поэтому на основании
этой пропорции отношение 0 : 0 должно быть взято как отношение 2:1.- Также и
по обычной арифметике п х 0 Ї 0; следовательно, п: 1=0:0.- Однако именно
потому, что 2 : 1 или п: 1 есть отношение определенных количеств, ему не
соответствует ни отношение, ни обозначение 0 : 0.
Я не буду приводить мнения еще других [математиков ], так как
рассмотренные уже достаточно показали, что в них, правда, содержится
истинное понятие бесконечного, но что оно не выделено и не сформулировано во
всей своей определенности. Поэтому, когда [высказывающие эти взгляды]
переходят к самому действию, то на нем не может сказаться истинное
определение понятия; скорее возвращается конечная определенность количества,
и действие не может обойтись без представления о лишь относительно малом.
Исчисление делает необходимым подвергать так называемые бесконечные величины
обычным арифметическим действиям сложения и т. д., основанным на природе
конечных величин, и тем самым хотя бы на мгновение признавать эти
бесконечные величины конечными и трактовать их как таковые. Исчисление
должно было бы обосновать правомерность того, что оно, с одной стороны,
низводит эти величины, вовлекает их в эту сферу и трактует их как приращения
или разности, а с другой - пренебрегает ими как определенными количествами
после того, как оно только что применяло к ним формы и законы конечных
величин.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281