В качестве
простейших инвариантов могут применяться уже суммы, разности, произведения
и частные двух переменных. Сумма инвариантна относительно добавления к
слагаемым величин, противоположных по знаку и одинаковых по абсолютной
величине. Разность инвариантна относительно добавления к уменьшаемому и
вычитаемому одинаковых чисел. Произведение инвариантно относительно
умножения сомножителей на обратные величины, частное - относительно
умножения делителя и делимого на одно и то же число. Объединение этих
простых операций позволяет получить более сложные инварианты.
---------Картинка стр. 28--------
Рис. 1. Пример получения инварианта (по Ф. Гродинзу [45]).
А - y/1/ и y/2/ - реакции систем первого порядка с
различными состояниями времени (*/1/, */2/ и */3/) на
ступенчатое возмущение (y/ss/) при различных начальных условиях
(y/01/ и y/02/); Б - приведенная реакция систем
первого порядка на ступенчатое возмущение, инвариантная относительно
величины возмущения, начальных условий и постоянных времени.
-------------------------
Приведем пример, заимствованный из теории линейных динамических систем
[45]. В системах первого порядка переходная характеристика (реакция на
ступенчатое возмущение) зависит от величины этого возмущения, а также
начального состояния системы и имеет вид экспоненты. На рис 1., А
приведены три различные экспоненты, соответствующие определенному
y/ss/ и различным y/0/. Но если перейти к безразмерным
относительным величинам, то независимо от y/ss/ и y/0/
переходный процесс будет описываться уравнением и соответствующей ему
унифицированной экспонентой (рис. 1, Б). Уменьшение вариантности
достигнуто здесь за счет двукратного применения свойств инвариантности
разностей y/0/-y/ss/, а также отношений
(y-y/ss/)/(y/0/-y/ss/) и t/*, где y/0/ -
начальное состояние системы, y/ss/ -текущая величина реакции,
t - время, * - постоянная величина системы.
На этом примере можно проиллюстрировать два приема преобразования
информации к виду, удобному для сравнения. Первый прием состоит в
использовании нормативных единичных шкал. До преобразования функция
y(t) имела область изменения (y/0/, y/ss/). Новая функция
z изменяется в интервале (0; 1) и является безразмерной величиной.
Второй прием состоит в использовании безразмерных натуральных аргументов
функций. Аргумент t/* является безразмерной величиной, так как
постоянная времени * имеет размерность времени, а целые значения
аргумента кратны постоянной времени системы.
Рассмотрим пример инварианта в психологии. Для исследования резервных
возможностей человека применяется метод дополнительной задачи. Человеку,
выполняющему основную работу, предлагают одновременно исполнять некоторую
дополнительную (задачу). Фиксируется распределение времени между основной и
дополнительной деятельностью. В диссертационной работе В. К. Сафонова [96]
введен коэффициент резервирования (К/рез/), равный
К/рез/=(t/общ/-t/доп/)/t/общ/,
где t/общ/ - общее время, t/доп/ - время на решение
дополнительной задачи, и показано, что для самых различных видов основной
деятельности этот коэффициент изменяется в узких границах
(К/рез/=0,16І0,28). Введенный коэффициент резервирования является
безразмерной относительной величиной. Определенный в интервале (0; 1), он
может рассматриваться как инвариант при вариациях видов деятельности,
характеризующий резервные возможности человека.
II. СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ ("ИЗ ОДНОГО - ВСЕ")
II. 2. 1. Принцип декомпозиции. Начальным этапом анализа любого
множества как системы является группировка его элементов, разбиение на
подмножества. Этот процесс может быть описан в различных терминах.
Разбиение на классы производится на основе отношения эквивалентности. При
этом неявно предполагается, что: а) существует процедура, позволяющая
установить сходство и различие элементов множества, в результате сходные
(неотличимые применяемой процедурой) элементы попадают в один класс -
отличающиеся - в разные; б) нет проблемы выделения самих элементов; в) мы
имеем дело с дискретными множествами. В реальных множествах элементы могут
обладать несколькими признаками. Поэтому одно и то же множество может быть
разбито на различные подмножества.
На непрерывных множествах могут быть заданы функции разных видов. Разбиение
таких множеств на подмножества может происходить в точках, где функция
имеет разрыв, или в малых областях, где ее градиент велик и
превышает некоторое пороговое значение [23]. В ряде случаев математические
условия разбиения, границы между подмножествами могут восприниматься
человеком, - например, выделение контуров и их разбиение на части при
зрительном восприятии. Разбивающими могут служить особые точки функции -
перегиба, максимума, минимума и т. д. Иногда ими оказываются значения
непрерывной функции, соответствующие целочисленным или натуральным
значениям ее аргумента. Но возможны и случаи, когда ни один из
перечисленных принципов квантования не "работает". Тогда
фиксируется два крайних противоположных значения функции, которые и
принимаются за дискретные характеристики множества. Так приходится
поступать при решении задач типологии. Примером могут служить распределения
людей в данной выборке по показателям экстраверсии - интроверсии и
нейротизма. При независимости показателей число выделяемых крайних типов
соответственно увеличивается.
II. 2. 2. От единого к множеству. Из одного все образуется различными
путями. Единица (одно) может делиться и может умножаться. В обоих случаях
единица порождает многое, из одного элемента возникает множество. Разбитие
целого на части можно производить при помощи деления и вычитания, создать
многообразие из элементов можно с помощью сложения и умножения. Существует
много конкретных реализаций процессов сложения, вычитания, умножения и
деления, - например, сложение чисел, векторов, бесконечно малых величин,
логическое сложение и т. д. Простейшими (но и важнейшими!) движениями от
одного ко всему являются процессы раздвоения и удвоения целого.
"Раздвоение единого и познание противоречивых частей его... есть
суть (одна из "сущностей", одна из основных, если не
основная, особенностей его черт) диалектики".*(*Ленин В. И. Полн. собр.
соч., т. 29, с. 316.)
Раздвоение единого представляет собой частный, но самый важный случай
анализа одного, единого, целого. "Из одного -все, и из всего -
одно", - этот тезис показывает, что раздвоению противостоит
объединение двух в одно. Частным, но принципиальным случаем является
объединение противоположностей по Гераклиту, гармония состоит из
противоположностей (мужское и женское и т. д.) [36].
II. 2. 3. Раздвоение единого. На практике единое всегда является
единым множеством. Действительно, целостную геометрическую фигуру всегда
можно представить как связное множество точек; понятие характеризуется
прежде всего объемом и содержанием, которые тоже являются множествами:
первое - множеством объектов данного класса, второе - множеством признаков
класса. Поэтому, когда нужно разделить единое практически, мы всегда имеем
дело с раздвоением множества. Любое реальное множество допускает большое
число раздвоений.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57
простейших инвариантов могут применяться уже суммы, разности, произведения
и частные двух переменных. Сумма инвариантна относительно добавления к
слагаемым величин, противоположных по знаку и одинаковых по абсолютной
величине. Разность инвариантна относительно добавления к уменьшаемому и
вычитаемому одинаковых чисел. Произведение инвариантно относительно
умножения сомножителей на обратные величины, частное - относительно
умножения делителя и делимого на одно и то же число. Объединение этих
простых операций позволяет получить более сложные инварианты.
---------Картинка стр. 28--------
Рис. 1. Пример получения инварианта (по Ф. Гродинзу [45]).
А - y/1/ и y/2/ - реакции систем первого порядка с
различными состояниями времени (*/1/, */2/ и */3/) на
ступенчатое возмущение (y/ss/) при различных начальных условиях
(y/01/ и y/02/); Б - приведенная реакция систем
первого порядка на ступенчатое возмущение, инвариантная относительно
величины возмущения, начальных условий и постоянных времени.
-------------------------
Приведем пример, заимствованный из теории линейных динамических систем
[45]. В системах первого порядка переходная характеристика (реакция на
ступенчатое возмущение) зависит от величины этого возмущения, а также
начального состояния системы и имеет вид экспоненты. На рис 1., А
приведены три различные экспоненты, соответствующие определенному
y/ss/ и различным y/0/. Но если перейти к безразмерным
относительным величинам, то независимо от y/ss/ и y/0/
переходный процесс будет описываться уравнением и соответствующей ему
унифицированной экспонентой (рис. 1, Б). Уменьшение вариантности
достигнуто здесь за счет двукратного применения свойств инвариантности
разностей y/0/-y/ss/, а также отношений
(y-y/ss/)/(y/0/-y/ss/) и t/*, где y/0/ -
начальное состояние системы, y/ss/ -текущая величина реакции,
t - время, * - постоянная величина системы.
На этом примере можно проиллюстрировать два приема преобразования
информации к виду, удобному для сравнения. Первый прием состоит в
использовании нормативных единичных шкал. До преобразования функция
y(t) имела область изменения (y/0/, y/ss/). Новая функция
z изменяется в интервале (0; 1) и является безразмерной величиной.
Второй прием состоит в использовании безразмерных натуральных аргументов
функций. Аргумент t/* является безразмерной величиной, так как
постоянная времени * имеет размерность времени, а целые значения
аргумента кратны постоянной времени системы.
Рассмотрим пример инварианта в психологии. Для исследования резервных
возможностей человека применяется метод дополнительной задачи. Человеку,
выполняющему основную работу, предлагают одновременно исполнять некоторую
дополнительную (задачу). Фиксируется распределение времени между основной и
дополнительной деятельностью. В диссертационной работе В. К. Сафонова [96]
введен коэффициент резервирования (К/рез/), равный
К/рез/=(t/общ/-t/доп/)/t/общ/,
где t/общ/ - общее время, t/доп/ - время на решение
дополнительной задачи, и показано, что для самых различных видов основной
деятельности этот коэффициент изменяется в узких границах
(К/рез/=0,16І0,28). Введенный коэффициент резервирования является
безразмерной относительной величиной. Определенный в интервале (0; 1), он
может рассматриваться как инвариант при вариациях видов деятельности,
характеризующий резервные возможности человека.
II. СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ ("ИЗ ОДНОГО - ВСЕ")
II. 2. 1. Принцип декомпозиции. Начальным этапом анализа любого
множества как системы является группировка его элементов, разбиение на
подмножества. Этот процесс может быть описан в различных терминах.
Разбиение на классы производится на основе отношения эквивалентности. При
этом неявно предполагается, что: а) существует процедура, позволяющая
установить сходство и различие элементов множества, в результате сходные
(неотличимые применяемой процедурой) элементы попадают в один класс -
отличающиеся - в разные; б) нет проблемы выделения самих элементов; в) мы
имеем дело с дискретными множествами. В реальных множествах элементы могут
обладать несколькими признаками. Поэтому одно и то же множество может быть
разбито на различные подмножества.
На непрерывных множествах могут быть заданы функции разных видов. Разбиение
таких множеств на подмножества может происходить в точках, где функция
имеет разрыв, или в малых областях, где ее градиент велик и
превышает некоторое пороговое значение [23]. В ряде случаев математические
условия разбиения, границы между подмножествами могут восприниматься
человеком, - например, выделение контуров и их разбиение на части при
зрительном восприятии. Разбивающими могут служить особые точки функции -
перегиба, максимума, минимума и т. д. Иногда ими оказываются значения
непрерывной функции, соответствующие целочисленным или натуральным
значениям ее аргумента. Но возможны и случаи, когда ни один из
перечисленных принципов квантования не "работает". Тогда
фиксируется два крайних противоположных значения функции, которые и
принимаются за дискретные характеристики множества. Так приходится
поступать при решении задач типологии. Примером могут служить распределения
людей в данной выборке по показателям экстраверсии - интроверсии и
нейротизма. При независимости показателей число выделяемых крайних типов
соответственно увеличивается.
II. 2. 2. От единого к множеству. Из одного все образуется различными
путями. Единица (одно) может делиться и может умножаться. В обоих случаях
единица порождает многое, из одного элемента возникает множество. Разбитие
целого на части можно производить при помощи деления и вычитания, создать
многообразие из элементов можно с помощью сложения и умножения. Существует
много конкретных реализаций процессов сложения, вычитания, умножения и
деления, - например, сложение чисел, векторов, бесконечно малых величин,
логическое сложение и т. д. Простейшими (но и важнейшими!) движениями от
одного ко всему являются процессы раздвоения и удвоения целого.
"Раздвоение единого и познание противоречивых частей его... есть
суть (одна из "сущностей", одна из основных, если не
основная, особенностей его черт) диалектики".*(*Ленин В. И. Полн. собр.
соч., т. 29, с. 316.)
Раздвоение единого представляет собой частный, но самый важный случай
анализа одного, единого, целого. "Из одного -все, и из всего -
одно", - этот тезис показывает, что раздвоению противостоит
объединение двух в одно. Частным, но принципиальным случаем является
объединение противоположностей по Гераклиту, гармония состоит из
противоположностей (мужское и женское и т. д.) [36].
II. 2. 3. Раздвоение единого. На практике единое всегда является
единым множеством. Действительно, целостную геометрическую фигуру всегда
можно представить как связное множество точек; понятие характеризуется
прежде всего объемом и содержанием, которые тоже являются множествами:
первое - множеством объектов данного класса, второе - множеством признаков
класса. Поэтому, когда нужно разделить единое практически, мы всегда имеем
дело с раздвоением множества. Любое реальное множество допускает большое
число раздвоений.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57