Используя теорему Пифагора, можно рассчитать длину пути по диагонали на рис. 2.3.
Она составит, где Л представляет
собой расстояние между зеркалами световых часов (равное 15 см). Суммарная длина двух диагональных отрезков будет равна Поскольку скорость света является константой, которая обычно обозначается с, фотону потребуется секунд на то, чтобы пройти оба диагональных отрезка. Таким образом, у нас есть уравнение, из которо-
го мы можем найти значение Чтобы избежать недоразумений, обозначим это
значение как, индекс у t
в этом выражении указывает на то, что мы измеряем продолжительность одного цикла для движущихся часов. С другой стороны, время цикла для неподвижных часов tнеподв можно рассчитать по формуле. Используя неслож-
ные алгебраические преобразования, получим выражение, которое непосредственно свидетельствует о том, что продолжительность тика движущихся часов больше, чем у неподвижных. Это означает, что для промежутка времени между двумя выбранными событиями движущиеся часы совершат меньшее число тиков, чем неподвижные, т. е. для движущегося наблюдателя пройдет меньше времени.
4. Если опыт с ускорителем частиц, понятный узкому кругу специалистов, не выглядит для вас очень убедительным, приведем еще один пример. В октябре 1971 г. Дж. С. Хафеле, работавший в то время в университете Вашингтона в Сент-Луисе и Ричард Китинг из Военно-морской лаборатории США провели эксперимент, в ходе которого цезиевые атомные часы провели около 40 часов на борту самолетов, совершавших коммерческие авиарейсы. После того, как был учтен ряд тонких эффектов, связанных с действием гравитации (которая будет обсуждаться в следующей главе), расчеты с использованием специальной теории относительности показали, что показания движущихся часов должны быть меньше показаний неподвижных часов на несколько сотен миллиардных долей секунды. Именно такие данные и получили Хафеле и Китинг: для движущихся часов время действительно замедляет ход.
5. Хотя на рис. 2.4 правильно изображено сжатие тела в направлении движения, этот рисунок не дает представления о том, что мы в действительности
Частица Масса* Электрический заряд" Заряд слабого взаимодействия Заряд сильного взаимодействия
Семейство 1
Электрон 0,00054 -1 -1/2 0
Электронное нейтрино «!0"8 0 1/2 0
и-кварк 0,0047 2/3 1/2 красный, зеленый, синий
d-кварк 0,0074 -1/3 -1/2 красный, зеленый, синий
Семейство 2
Мюон 0,11 -1 -1/2 0
Мюонное нейтрино «0,0003 0 1/2 0
с-кварк 1,6 2/3 1/2 красный, зеленый, синий
s-кварк 0,16 -1/3 -1/2 красный, зеленый, синий
Семейство 3
Тау-частица 1,9 -1 -1/2 0
Тау-нейтрино «0,033 0 1/2 0
t-кварк 189,0 2/3 1/2 красный, зеленый, синий
b-кварк 5,2 -1/3 -1/2 красный, зеленый, синий
* В единицах массы протона. ** В единицах заряда протона.
увидим, если мимо нас пролетит тело, движущееся со световой скоростью (при условии, что наш глаз или фотографическое оборудование, которое мы используем, имеют достаточную разрешающую способность, чтобы вообще хоть что-то увидеть!). Чтобы увидеть что-то, глаз или камера должны получать свет, отраженный от поверхности тела. Однако, поскольку отраженный свет приходит от разных участков тела, тот свет, который мы будем видеть в каждый момент времени, будет проходить по путям различной длины. Результатом явится релятивистская иллюзия — тело будет выглядеть сократившимся по длине и повернутым.
6. Для читателей, имеющих математическую подготовку, заметим, что по 4-вектору положения в пространстве-времени можно построить 4-вектор скорости
где т — собственное время, определяемое соотношением
Тогда «скорость в пространстве-времени» будет представлять собой величину 4-вектора и,
которая равна скорости света с. Теперь уравнение
можно переписать в форме
Это показывает, что увеличение скорости тела в пространстве должно сопровождать-
ся уменьшением величины, которая пред-
ставляет собой скорость объекта во времени (скорость, с которой идут его собственные часы по отношению к скорости наших неподвижных часов dt).
Глава 3
1. Isaac Newton, Sir Isaac Newton's Mathematical Principle of Natural Philosophy and His System of the World, Irans. A. Motleand Florian Cajori. Berkeley: University of California Press, 1962, v. I, p. 634. (В рус. пер. см.: письмо Ньютона архиепископу Бентли от 25 февраля 1693 г. // Письма Ньютона и Ньютону. М…-ВИЕТ, 1993, №1, с. 33-45.)
2. Если говорить точнее, Эйнштейн осознал, что принцип эквивалентности сохраняется до тех пор, пока наблюдения ограничены достаточно малой областью пространства, т. е. до тех пор, пока ваше «купе» достаточно мало. Причина этого состоит в следующем. Интенсивность (и направление) гравитационных полей могут изменяться от точки к точке. Однако мы считаем, что купе в целом ускоряется как единое тело и, следовательно, это ускорение имитирует действие однородного гравитационного поля. Чем меньше будет купе, тем меньше пространство, в котором гравитационное поле может изменяться и, следовательно, тем более применимым станет принцип эквивалентности. Разность между однородным гравитационным полем, имитируемым ускорением, и возможно неоднородным «реальным» гравитационным полем, созданным совокупностью массивных тел, носит название «приливного» гравитационного поля (поскольку им объясняется влияние тяготения Луны на приливы на Земле). Подытоживая данное примечание, можно сказать, что уменьшая размер купе, можно сделать приливные гравитационные поля менее заметными и добиться того, что ускоренное движение и «реальное» гравитационное поле будут неразличимы.
3. Цитируется по книге: Albrecht Folsing, Albert Einstein. New York: Viking, 1997, p. 315.
4. John Stachel, Einstein and the Rigidly Rotating Disk. Опубликовано в General Relativity and Gravitation, ed. A. Held. New York: Plenum, 1980, p. I.
5. Анализ аттракциона Верхом на торнадо или «жесткого вращающегося диска», как он называется на более профессиональном языке, может легко привести к недоразумениям. Так, например, и по сей день нет общего согласия по ряду деталей этого примера. В тексте мы следовали духу анализа, выполненного самим Эйнштейном; в примечании мы, оставаясь на той же точке зрения, постараемся пояснить некоторые особенности, которые могут привести к недоразумениям. Во-первых, может показаться непонятным, почему длина окружности колеса не испытает лоренцевского сокращения в той же мере, что и линейка: в этом случае результат, полученный Слимом, совпадал бы с первоначальным. Здесь следует иметь в виду, что мы все время считали, что колесо непрерывно вращается и никогда не рассматривали его в состоянии покоя. Таким образом, с точки зрения неподвижных наблюдателей, единственное различие между измерениями длины окружности и измерениями Слима будет состоять в том, что линейка Слима испытала лоренцевское сокращение; колесо вращалось и во время наших измерений, и тогда, когда мы
наблюдали за измерениями Слима. Видя, что линейка Слима испытала сокращение, мы понимали, что ему придется приложить ее большее число раз, чтобы пройти по всей длине окружности и, следовательно, он получит большее значение, чем мы. Лоренцевское сокращение окружности колеса можно установить, только сравнив результаты измерений на покоящемся и вращаюшемся колесе, однако такое сравнение нас не интересовало. Во-вторых, хотя нам и не требовалось анализировать аттракцион в состоянии покоя, у вас может остаться вопрос, а что случится с колесом, когда оно замедлит свое движение и остановится?
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136
Она составит, где Л представляет
собой расстояние между зеркалами световых часов (равное 15 см). Суммарная длина двух диагональных отрезков будет равна Поскольку скорость света является константой, которая обычно обозначается с, фотону потребуется секунд на то, чтобы пройти оба диагональных отрезка. Таким образом, у нас есть уравнение, из которо-
го мы можем найти значение Чтобы избежать недоразумений, обозначим это
значение как, индекс у t
в этом выражении указывает на то, что мы измеряем продолжительность одного цикла для движущихся часов. С другой стороны, время цикла для неподвижных часов tнеподв можно рассчитать по формуле. Используя неслож-
ные алгебраические преобразования, получим выражение, которое непосредственно свидетельствует о том, что продолжительность тика движущихся часов больше, чем у неподвижных. Это означает, что для промежутка времени между двумя выбранными событиями движущиеся часы совершат меньшее число тиков, чем неподвижные, т. е. для движущегося наблюдателя пройдет меньше времени.
4. Если опыт с ускорителем частиц, понятный узкому кругу специалистов, не выглядит для вас очень убедительным, приведем еще один пример. В октябре 1971 г. Дж. С. Хафеле, работавший в то время в университете Вашингтона в Сент-Луисе и Ричард Китинг из Военно-морской лаборатории США провели эксперимент, в ходе которого цезиевые атомные часы провели около 40 часов на борту самолетов, совершавших коммерческие авиарейсы. После того, как был учтен ряд тонких эффектов, связанных с действием гравитации (которая будет обсуждаться в следующей главе), расчеты с использованием специальной теории относительности показали, что показания движущихся часов должны быть меньше показаний неподвижных часов на несколько сотен миллиардных долей секунды. Именно такие данные и получили Хафеле и Китинг: для движущихся часов время действительно замедляет ход.
5. Хотя на рис. 2.4 правильно изображено сжатие тела в направлении движения, этот рисунок не дает представления о том, что мы в действительности
Частица Масса* Электрический заряд" Заряд слабого взаимодействия Заряд сильного взаимодействия
Семейство 1
Электрон 0,00054 -1 -1/2 0
Электронное нейтрино «!0"8 0 1/2 0
и-кварк 0,0047 2/3 1/2 красный, зеленый, синий
d-кварк 0,0074 -1/3 -1/2 красный, зеленый, синий
Семейство 2
Мюон 0,11 -1 -1/2 0
Мюонное нейтрино «0,0003 0 1/2 0
с-кварк 1,6 2/3 1/2 красный, зеленый, синий
s-кварк 0,16 -1/3 -1/2 красный, зеленый, синий
Семейство 3
Тау-частица 1,9 -1 -1/2 0
Тау-нейтрино «0,033 0 1/2 0
t-кварк 189,0 2/3 1/2 красный, зеленый, синий
b-кварк 5,2 -1/3 -1/2 красный, зеленый, синий
* В единицах массы протона. ** В единицах заряда протона.
увидим, если мимо нас пролетит тело, движущееся со световой скоростью (при условии, что наш глаз или фотографическое оборудование, которое мы используем, имеют достаточную разрешающую способность, чтобы вообще хоть что-то увидеть!). Чтобы увидеть что-то, глаз или камера должны получать свет, отраженный от поверхности тела. Однако, поскольку отраженный свет приходит от разных участков тела, тот свет, который мы будем видеть в каждый момент времени, будет проходить по путям различной длины. Результатом явится релятивистская иллюзия — тело будет выглядеть сократившимся по длине и повернутым.
6. Для читателей, имеющих математическую подготовку, заметим, что по 4-вектору положения в пространстве-времени можно построить 4-вектор скорости
где т — собственное время, определяемое соотношением
Тогда «скорость в пространстве-времени» будет представлять собой величину 4-вектора и,
которая равна скорости света с. Теперь уравнение
можно переписать в форме
Это показывает, что увеличение скорости тела в пространстве должно сопровождать-
ся уменьшением величины, которая пред-
ставляет собой скорость объекта во времени (скорость, с которой идут его собственные часы по отношению к скорости наших неподвижных часов dt).
Глава 3
1. Isaac Newton, Sir Isaac Newton's Mathematical Principle of Natural Philosophy and His System of the World, Irans. A. Motleand Florian Cajori. Berkeley: University of California Press, 1962, v. I, p. 634. (В рус. пер. см.: письмо Ньютона архиепископу Бентли от 25 февраля 1693 г. // Письма Ньютона и Ньютону. М…-ВИЕТ, 1993, №1, с. 33-45.)
2. Если говорить точнее, Эйнштейн осознал, что принцип эквивалентности сохраняется до тех пор, пока наблюдения ограничены достаточно малой областью пространства, т. е. до тех пор, пока ваше «купе» достаточно мало. Причина этого состоит в следующем. Интенсивность (и направление) гравитационных полей могут изменяться от точки к точке. Однако мы считаем, что купе в целом ускоряется как единое тело и, следовательно, это ускорение имитирует действие однородного гравитационного поля. Чем меньше будет купе, тем меньше пространство, в котором гравитационное поле может изменяться и, следовательно, тем более применимым станет принцип эквивалентности. Разность между однородным гравитационным полем, имитируемым ускорением, и возможно неоднородным «реальным» гравитационным полем, созданным совокупностью массивных тел, носит название «приливного» гравитационного поля (поскольку им объясняется влияние тяготения Луны на приливы на Земле). Подытоживая данное примечание, можно сказать, что уменьшая размер купе, можно сделать приливные гравитационные поля менее заметными и добиться того, что ускоренное движение и «реальное» гравитационное поле будут неразличимы.
3. Цитируется по книге: Albrecht Folsing, Albert Einstein. New York: Viking, 1997, p. 315.
4. John Stachel, Einstein and the Rigidly Rotating Disk. Опубликовано в General Relativity and Gravitation, ed. A. Held. New York: Plenum, 1980, p. I.
5. Анализ аттракциона Верхом на торнадо или «жесткого вращающегося диска», как он называется на более профессиональном языке, может легко привести к недоразумениям. Так, например, и по сей день нет общего согласия по ряду деталей этого примера. В тексте мы следовали духу анализа, выполненного самим Эйнштейном; в примечании мы, оставаясь на той же точке зрения, постараемся пояснить некоторые особенности, которые могут привести к недоразумениям. Во-первых, может показаться непонятным, почему длина окружности колеса не испытает лоренцевского сокращения в той же мере, что и линейка: в этом случае результат, полученный Слимом, совпадал бы с первоначальным. Здесь следует иметь в виду, что мы все время считали, что колесо непрерывно вращается и никогда не рассматривали его в состоянии покоя. Таким образом, с точки зрения неподвижных наблюдателей, единственное различие между измерениями длины окружности и измерениями Слима будет состоять в том, что линейка Слима испытала лоренцевское сокращение; колесо вращалось и во время наших измерений, и тогда, когда мы
наблюдали за измерениями Слима. Видя, что линейка Слима испытала сокращение, мы понимали, что ему придется приложить ее большее число раз, чтобы пройти по всей длине окружности и, следовательно, он получит большее значение, чем мы. Лоренцевское сокращение окружности колеса можно установить, только сравнив результаты измерений на покоящемся и вращаюшемся колесе, однако такое сравнение нас не интересовало. Во-вторых, хотя нам и не требовалось анализировать аттракцион в состоянии покоя, у вас может остаться вопрос, а что случится с колесом, когда оно замедлит свое движение и остановится?
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136