Отсутствие контрпримера означает, что для всех практических целей утверждение Кеплера применимо, но в абсолютном мире математики абсолютно необходимо строгое доказательство. Британский специалист по упаковке шаров К. А. Роджерс говорит, что «большинство математиков в правильность гипотезы Кеплера верят, а все физики в ее правильности твердо убеждены, так как это знают».
Несмотря на отсутствие полного доказательства, за прошедшие со времен Кеплера столетия было пройдено несколько вех на пути к решению. В 1892 году скандинавский математик Аксель Туэ нашел доказательство для двумерного аналога проблемы Кеплера, т. е. обнаружил наиболее эффективное расположение шаров в одном-единственном слое, или, иначе говоря, укладки апельсинов не в ящике, а на подносе. Решением оказалось гексагональное расположение шаров. Впоследствие Тот, Сегрэ и Малер пришли к тому же заключению, но ни один из использованных в двумерном случае методов не применим к исходной трехмерной проблеме Кеплера.
В наше время некоторые математики попытались подойти к проблеме Кеплера с совершенно другой стороны, а именно — вычислить верхний предел коэффициента заполнения пространства. В 1958 году К. А. Роджерс вычислил его верхний предел, который оказался равным 77,97 %. Это означает, что невозможно расположить шары так, чтобы коэффициент заполнения пространства был выше 77,97 %. Такое значение коэффициента заполнения пространства не намного больше, чем его значение для гранецентрированной кубической решетки, равное 74,04 %. Следовательно, если у какого-нибудь расположения шаров коэффициент заполнения пространства и оказался бы выше, чем у гранецентрированной кубической решетки, то превышение составило бы всего лишь несколько процентов. Оставалось узкое окно в 3,93 %, в которое могло бы «втиснуться» какое-то дикое расположение шаров, которое стало бы контрпримером, опровергающим гипотезу Кеплера. После Роджерса другие математики попытались полностью закрыть образовавшееся окно, понизив верхний предел до 74,04 %. Если бы эти попытки оказались удачными, то для других расположений не осталось бы места, они не могли бы иметь более высокий коэффициент заполнения пространства, чем гранецентрированная кубическая решетка, и тем самым гипотеза Кеплера оказалась бы «оправданной ввиду неявки подозреваемой». К сожалению, снижение верхнего предела оказалось процессом медленным и трудным, и к 1988 году верхний предел удалось уменьшить лишь до 77,84 %, что лишь незначительно улучшает оценку Роджерса.
Несмотря на столь медленный прогресс, проблема плотнейшей упаковки шаров летом 1990 года неожиданно попала в заголовки на первых полосах газет. Ву-И Хзянь из Калифорнийского университета в Беркли опубликовал результат, который, по его утверждению, был доказательством гипотезы Кеплера. Первоначально реакция математического сообщества была оптимистической, но когда работа Ву-И Хзяня подверглась тщательному рецензированию, в ней был обнаружен ряд ошибок, и доказательство рухнуло.
Как и в случае с доказательством Уайлса, Хзянь через год представил пересмотренный вариант доказательства, в котором, как он утверждал, ему удалось обойти те проблемы, которые были обнаружены в первоначальном варианте рукописи. К сожалению для Хзяня, его критики продолжали считать, что в его логике остаются пробелы. В письме к Хзяню математик Томас Хейлис попытался объяснить свои сомнения: «Одно предположение, сделанное в Вашей второй статье, представляется мне более фундаментальным и не менее трудным для доказательства, чем остальные… Ваши рассуждения весьма основательно и по существу опираются на это предположение, однако нигде нет и намека на его доказательство».
С тех пор, как Хзянь представил усовершенствованный вариант доказательства, между ним и его критиками шла непрекращающаяся борьба. Правильность предъявленного Хзянем усовершенствованного доказательства остается под вопросом. Во всяком случае, для того, кто хочет доказать гипотезу Кеплера, дверь остается открытой. В 1996 году Дуг Мудер изложил свое ви?дение ситуации вокруг доказательства Хзяня, обнаружив некую интригу:
«Недавно я вернулся с Совместной летней научно-исследовательской конференции по дискретной и вычислительной геометрии, состоявшейся в Маунт Холиоке под эгидой Американского математического общества, Института управленческих наук и Общества промышленной и прикладной математики. Такие конференции проводятся раз в десять лет, поэтому акцент делался на прогрессе, достигнутом за последние десять лет. Хзянь заявил о том, что ему удалось доказать гипотезу Кеплера шесть лет назад. Я обнаружил, что сообщество пришло к согласию по этому поводу: его доказательство "никто не покупает".
На пленарных лекциях и во время неформальных дискуссий неоднократно обсуждались следующие вопросы.
1. В статье Хзяня (опубликованной в "International Journal of Mathematics" в 1993 году) не содержится доказательства гипотезы Кеплера. В лучшем случае это набросок доказательства (на 100 страниц!), его общий ход. Таким доказательство могло бы быть.
2. Эта статья не может считаться даже наброском, так как к некоторым ее утверждениям обнаружены контрпримеры.
3. Столь же необосновано утверждение Хзяня о якобы найденном им доказательстве гипотезы о додекаэдре (и различных других ранее недоказуемых проблем упаковки шаров).
4. Работа над гипотезой Кеплера и гипотезой о додекаэдре должна продолжаться так, как если бы статьи Хзяня никогда не существовали.
В одной из лекций Габор Фейеш-Тот из венгерской Академии наук так отозвался о статье Хзяня: "Эту работу нельзя рассматривать как доказательство. Проблема по-прежнему остается открытой." Ему вторил Томас Хейлис из Мичиганского университета: "Проблема Кеплера остается нерешенной. Я не решил ее. Хзянь не решил ее. Насколько мне известно, никто не решил ее." (Хейлис предсказывал, что его собственный метод позволит решить проблему Кеплера "через год-другой".)
Самое интересное в этой истории — то, что один математик так и не присоединился к общему мнению, а именно сам Хзянь (он не был участником конференции). Хзянь был великолепно осведомлен о контрпримерах и о том, что специалисты не верят его утверждениям, но продолжал выступать с лекциями по всему миру, в которых не уставал снова повторять эти утверждения. Те математики, которым доводилось лично общаться с Хзянем (например, Хейлис и Бездек), считают, что Хзянь никогда не признавал, что в его статье имеются ошибки.
Именно по этой причине «пыль» оседала так медленно. Хзянь впервые заявил о том, что располагает доказательством гипотезы Кеплера в 1990 году, т. е. шесть лет назад. Публичные выступления Хзяня достаточно расплывчаты и неопределенны для того, чтобы быть правдоподобными. Через несколько месяцев после первых заявлений о том, что он располагает доказательством, когда появился первый препринт, в доказательстве сразу же были обнаружены пробелы, а вскоре последовали и контрпримеры. Но Хзянь упорно не прекращал лекционную деятельность, и это обстоятельство создавало впечатление, что он, по-видимому, справляется с теми возражениями, которые возникают. Объем его статьи и то, что текст доказательства претерпел несколько переработок до публикации, еще больше усиливали разноголосицу и неразбериху.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81
Несмотря на отсутствие полного доказательства, за прошедшие со времен Кеплера столетия было пройдено несколько вех на пути к решению. В 1892 году скандинавский математик Аксель Туэ нашел доказательство для двумерного аналога проблемы Кеплера, т. е. обнаружил наиболее эффективное расположение шаров в одном-единственном слое, или, иначе говоря, укладки апельсинов не в ящике, а на подносе. Решением оказалось гексагональное расположение шаров. Впоследствие Тот, Сегрэ и Малер пришли к тому же заключению, но ни один из использованных в двумерном случае методов не применим к исходной трехмерной проблеме Кеплера.
В наше время некоторые математики попытались подойти к проблеме Кеплера с совершенно другой стороны, а именно — вычислить верхний предел коэффициента заполнения пространства. В 1958 году К. А. Роджерс вычислил его верхний предел, который оказался равным 77,97 %. Это означает, что невозможно расположить шары так, чтобы коэффициент заполнения пространства был выше 77,97 %. Такое значение коэффициента заполнения пространства не намного больше, чем его значение для гранецентрированной кубической решетки, равное 74,04 %. Следовательно, если у какого-нибудь расположения шаров коэффициент заполнения пространства и оказался бы выше, чем у гранецентрированной кубической решетки, то превышение составило бы всего лишь несколько процентов. Оставалось узкое окно в 3,93 %, в которое могло бы «втиснуться» какое-то дикое расположение шаров, которое стало бы контрпримером, опровергающим гипотезу Кеплера. После Роджерса другие математики попытались полностью закрыть образовавшееся окно, понизив верхний предел до 74,04 %. Если бы эти попытки оказались удачными, то для других расположений не осталось бы места, они не могли бы иметь более высокий коэффициент заполнения пространства, чем гранецентрированная кубическая решетка, и тем самым гипотеза Кеплера оказалась бы «оправданной ввиду неявки подозреваемой». К сожалению, снижение верхнего предела оказалось процессом медленным и трудным, и к 1988 году верхний предел удалось уменьшить лишь до 77,84 %, что лишь незначительно улучшает оценку Роджерса.
Несмотря на столь медленный прогресс, проблема плотнейшей упаковки шаров летом 1990 года неожиданно попала в заголовки на первых полосах газет. Ву-И Хзянь из Калифорнийского университета в Беркли опубликовал результат, который, по его утверждению, был доказательством гипотезы Кеплера. Первоначально реакция математического сообщества была оптимистической, но когда работа Ву-И Хзяня подверглась тщательному рецензированию, в ней был обнаружен ряд ошибок, и доказательство рухнуло.
Как и в случае с доказательством Уайлса, Хзянь через год представил пересмотренный вариант доказательства, в котором, как он утверждал, ему удалось обойти те проблемы, которые были обнаружены в первоначальном варианте рукописи. К сожалению для Хзяня, его критики продолжали считать, что в его логике остаются пробелы. В письме к Хзяню математик Томас Хейлис попытался объяснить свои сомнения: «Одно предположение, сделанное в Вашей второй статье, представляется мне более фундаментальным и не менее трудным для доказательства, чем остальные… Ваши рассуждения весьма основательно и по существу опираются на это предположение, однако нигде нет и намека на его доказательство».
С тех пор, как Хзянь представил усовершенствованный вариант доказательства, между ним и его критиками шла непрекращающаяся борьба. Правильность предъявленного Хзянем усовершенствованного доказательства остается под вопросом. Во всяком случае, для того, кто хочет доказать гипотезу Кеплера, дверь остается открытой. В 1996 году Дуг Мудер изложил свое ви?дение ситуации вокруг доказательства Хзяня, обнаружив некую интригу:
«Недавно я вернулся с Совместной летней научно-исследовательской конференции по дискретной и вычислительной геометрии, состоявшейся в Маунт Холиоке под эгидой Американского математического общества, Института управленческих наук и Общества промышленной и прикладной математики. Такие конференции проводятся раз в десять лет, поэтому акцент делался на прогрессе, достигнутом за последние десять лет. Хзянь заявил о том, что ему удалось доказать гипотезу Кеплера шесть лет назад. Я обнаружил, что сообщество пришло к согласию по этому поводу: его доказательство "никто не покупает".
На пленарных лекциях и во время неформальных дискуссий неоднократно обсуждались следующие вопросы.
1. В статье Хзяня (опубликованной в "International Journal of Mathematics" в 1993 году) не содержится доказательства гипотезы Кеплера. В лучшем случае это набросок доказательства (на 100 страниц!), его общий ход. Таким доказательство могло бы быть.
2. Эта статья не может считаться даже наброском, так как к некоторым ее утверждениям обнаружены контрпримеры.
3. Столь же необосновано утверждение Хзяня о якобы найденном им доказательстве гипотезы о додекаэдре (и различных других ранее недоказуемых проблем упаковки шаров).
4. Работа над гипотезой Кеплера и гипотезой о додекаэдре должна продолжаться так, как если бы статьи Хзяня никогда не существовали.
В одной из лекций Габор Фейеш-Тот из венгерской Академии наук так отозвался о статье Хзяня: "Эту работу нельзя рассматривать как доказательство. Проблема по-прежнему остается открытой." Ему вторил Томас Хейлис из Мичиганского университета: "Проблема Кеплера остается нерешенной. Я не решил ее. Хзянь не решил ее. Насколько мне известно, никто не решил ее." (Хейлис предсказывал, что его собственный метод позволит решить проблему Кеплера "через год-другой".)
Самое интересное в этой истории — то, что один математик так и не присоединился к общему мнению, а именно сам Хзянь (он не был участником конференции). Хзянь был великолепно осведомлен о контрпримерах и о том, что специалисты не верят его утверждениям, но продолжал выступать с лекциями по всему миру, в которых не уставал снова повторять эти утверждения. Те математики, которым доводилось лично общаться с Хзянем (например, Хейлис и Бездек), считают, что Хзянь никогда не признавал, что в его статье имеются ошибки.
Именно по этой причине «пыль» оседала так медленно. Хзянь впервые заявил о том, что располагает доказательством гипотезы Кеплера в 1990 году, т. е. шесть лет назад. Публичные выступления Хзяня достаточно расплывчаты и неопределенны для того, чтобы быть правдоподобными. Через несколько месяцев после первых заявлений о том, что он располагает доказательством, когда появился первый препринт, в доказательстве сразу же были обнаружены пробелы, а вскоре последовали и контрпримеры. Но Хзянь упорно не прекращал лекционную деятельность, и это обстоятельство создавало впечатление, что он, по-видимому, справляется с теми возражениями, которые возникают. Объем его статьи и то, что текст доказательства претерпел несколько переработок до публикации, еще больше усиливали разноголосицу и неразбериху.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81