Закончив урок, Евклид обратился к рабу и, указав на ученика, сказал: «Дай ему обол, ибо он желает иметь пользу от того, что изучает». Вскоре этот ученик был изгнан.
Значительную часть своей жизни Евклид провел за написанием «Начал» — учебника геометрии, имевшего наибольший успех за всю историю человечества. Вплоть до XX века «Начала» были вторым бестселлером после Библии. «Начала» состоят из тринадцати книг, часть которых посвящена изложению результатов исследований самого Евклида, а остальные представляют собой компиляцию всех математических знаний его века. Например, результаты исследований членов пифагорейского братства занимают две книги. За столетия, прошедшие после кончины Пифагора, математики изобрели множество разнообразных логических приемов, применимых в различных обстоятельствах, и Евклид искусно использовал в «Началах» все эти методы. В частности, Евклид применил логическое оружие, известное как reductio ad absurdum, или доказательство от противного. Этот метод вращается вокруг довольно хитроумной идеи: чтобы доказать истинность теоремы, прежде всего необходимо предположить, что эта теорема неверна. Далее математик изучает логические следствия того, что теорема неверна. В каком-то пункте в логической цепочке обнаруживается противоречие (например, выясняется, что 2+2=5). Математика питает непреодолимое отвращение к противоречиям. Отсюда делается заключение, что исходная теорема не может быть неверна, т. е. она истинна.
Английский математик Г.Г. Харди кратко выразил дух доказательства от противного в своей книге «Апология математика»: «Reductio ad absurdum, столь любимое Евклидом, — одно из самых прекрасных орудий математика. Это гораздо более тонкий гамбит, чем любая шахматная партия: шахматист может пожертвовать пешкой или даже какой-нибудь фигурой, но математик жертвует партией».
Одно из наиболее известных доказательств Евклида от противного — доказательство существования так называемых иррациональных чисел. По-видимому, иррациональные числа первоначально были открыты пифагорейцами несколькими столетиями раньше, но понятие иррационального числа вызывало у Пифагора столь сильное отвращение, что он отрицал существование иррациональных чисел.
Когда Пифагор провозгласил, что Вселенной управляют числа, он имел в виду только целые числа и их отношения, называемые рациональными числами. Иррациональное же число не является ни целым, ни дробью, и именно это обстоятельство казалось Пифагору отвратительным. Действительно, иррациональные числа настолько необычны, что их невозможно записать в виде конечных десятичных дробей или бесконечных периодических дробей. Например, такая бесконечная периодическая непрерывная дробь, как 0,111111…, — число весьма и весьма обыкновенное: оно равно дроби 1/9. То, что единица повторяется неограниченно много раз, означает лишь, что данное десятичное число обладает очень простой и регулярной структурой. В свою очередь такая строгая регулярность, несмотря на неоднократное (в действительности — бесконечнократное) повторение, означает, что данную бесконечную десятичную дробь можно записать в виде обыкновенной дроби. Но если вы захотите представить иррациональное число в виде десятичной дроби, то у вас получится бесконечная дробь, структура которой не будет регулярной и сколько-нибудь обозримой.
Для Пифагора идея красоты математики состояла в том, что рациональные числа (целые числа и обыкновенные дроби) позволяют объяснить все явления в природе. Эта путеводная философия ослепила Пифагора, не давая ему увидеть существование иррационального числа и, возможно, даже привела к казни одного из его учеников. Легенда рассказывает о том, что один из учеников Пифагора по имени Гиппас на досуге забавлялся с числом ?2, пытаясь найти эквивалентную ему обыкновенную дробь. В конце концов он понял, что такой дроби не существует, т. е. ?2 — иррациональное число. Совершив столь важное открытие, Гиппас, должно быть, пришел в неописуемый восторг, чего нельзя было сказать о его учителе. Пифагор определял все происходящее в мире с помощью рациональных чисел, и существование иррациональных чисел ставило под сомнение его идеал. Открытие Гиппаса могло бы повлечь за собой период споров и сомнений, и Пифагору пришлось бы признать новый источник чисел. Но Пифагор не хотел признать свои заблуждения и в то же время не мог разрушить аргументацию Гиппаса силой логики. К своему вечному позору, он приговорил Гиппаса к смерти через утопление.
Отец логики и математического метода прибег к силе, но так и не признал, что был неправ. Это было его самым позорным деянием и, возможно, величайшей трагедией греческой математики. Иррациональные числа обрели «права гражданства» в математике только после смерти Пифагора.
Введение иррациональных чисел означало гигантский прорыв в математике. Математики получили возможность бросить взгляд за пределы целых чисел и обыкновенных дробей, оглядеться и открывать или, быть может, изобретать новые числа. По словам математика XIX века Леопольда Кронекера: «Бог создал целые числа; все остальное дело рук человеческих».
Самым замечательным иррациональным числом по праву считается число ?. В школе его иногда заменяют приближенным значением 31/7 или 3,14. Истинное значение ? ближе к 3,14159265358979323846, но и эта длинная десятичная дробь — не более чем приближение к истинному значению числа ?. В действительности же число ? невозможно точно представить в виде десятичной дроби, так как десятичная дробь получается бесконечной и в распределении цифр нет никакой закономерности. Одна из замечательных особенностей случайного распределения цифр в десятичной записи числа ? заключается в том, что вычислить ее можно с помощью весьма регулярного соотношения:
Вычислив первые несколько членов, вы можете получить весьма грубое приближение к ?, однако последующие вычисления дают довольно хорошее приближение.
Вообще говоря, для вычисления длины окружности Вселенной с точностью до радиуса атома водорода достаточно знание 39 знаков числа ?. Тем не менее, это не мешает специалистам вычислять число ? на компьютере с очень большим количеством знаков. Текущий рекорд принадлежит Ясумасе Канаде из Токийского университета, который в 1996 году вычислил 6 миллиардов знаков десятичного разложения числа ?. Недавно прошел слух о том, что русские по происхождению братья Чудновские из Нью-Йорка вычислили 8 миллиардов знаков десятичного разложения числа ? и намереваются вычислить триллион десятичных знаков. Если Канада или братья Чудновские вознамерились бы продолжать свои вычисления до тех пор, пока их компьютеры не исчерпают всю энергию во Вселенной, то и тогда им не удалось бы найти точное значение числа ?. Нетрудно понять, почему Пифагор настаивал на том, чтобы сведения о существовании столь необычных математических «зверей» оставались достоянием лишь узкого круга посвященных.
Значение числа ? с более чем 1500 знаками
3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582
0974944592307816406286208998628034825342117067982148086
5132823066470938446095505822317253594081284811174502841
0270193852110555964462294895493038196442881097566593344
6128475648233786783165271201909145648566923460348610454
3266482133936072602491412737245870066063155881748815209
2096282925409171536436789259036001133053054882046652138
4146951941511609433057270365759591953092186117381932611
7931051185480744623799627495673518857527248912279381830
1194912983367336244065664308602139494639522473719070217
9860943702770539217176293176752384674818467669405132000
5681271452635608277857713427577896091736371787214684409
0122495343014654958537105079227968925892354201995611212
9021960864034418159813629774771309960518707211349999998
3729780499510597317328160963185950244594553469083026425
2230825334468503526193118817101000313783875288658753320
8381420617177669147303598253490428755468731159562863882
3537875937519577818577805321712268066130019278766111959
0921642019893809525720106548586327886593615338182796823
0301952035301852968995773622599413891249721775283479131
5155748572424541506959508295331168617278558890750983817
5463746493931925506040092770167113900984882401285836160
3563707660104710181942955596198946767837449448255379774
7268471040475346462080466842590694912933136770289891521
0475216205696602405803815019351125338243003558764024749
6473263914199272604269922796782354781636009341721641219
9245863150302861829745557067498385054945885869269956909
2721079750930295532116534498720275596023648066549119881
8347977535663698074265425278625518184175746728909777727
938000816470200161452491921732172147723501414419735
Когда Евклид отважился рассмотреть проблему иррациональности в десятом томе «Начал», его цель состояла в том, чтобы доказать существование числа, не представимого в виде обыкновенной дроби.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81
Значительную часть своей жизни Евклид провел за написанием «Начал» — учебника геометрии, имевшего наибольший успех за всю историю человечества. Вплоть до XX века «Начала» были вторым бестселлером после Библии. «Начала» состоят из тринадцати книг, часть которых посвящена изложению результатов исследований самого Евклида, а остальные представляют собой компиляцию всех математических знаний его века. Например, результаты исследований членов пифагорейского братства занимают две книги. За столетия, прошедшие после кончины Пифагора, математики изобрели множество разнообразных логических приемов, применимых в различных обстоятельствах, и Евклид искусно использовал в «Началах» все эти методы. В частности, Евклид применил логическое оружие, известное как reductio ad absurdum, или доказательство от противного. Этот метод вращается вокруг довольно хитроумной идеи: чтобы доказать истинность теоремы, прежде всего необходимо предположить, что эта теорема неверна. Далее математик изучает логические следствия того, что теорема неверна. В каком-то пункте в логической цепочке обнаруживается противоречие (например, выясняется, что 2+2=5). Математика питает непреодолимое отвращение к противоречиям. Отсюда делается заключение, что исходная теорема не может быть неверна, т. е. она истинна.
Английский математик Г.Г. Харди кратко выразил дух доказательства от противного в своей книге «Апология математика»: «Reductio ad absurdum, столь любимое Евклидом, — одно из самых прекрасных орудий математика. Это гораздо более тонкий гамбит, чем любая шахматная партия: шахматист может пожертвовать пешкой или даже какой-нибудь фигурой, но математик жертвует партией».
Одно из наиболее известных доказательств Евклида от противного — доказательство существования так называемых иррациональных чисел. По-видимому, иррациональные числа первоначально были открыты пифагорейцами несколькими столетиями раньше, но понятие иррационального числа вызывало у Пифагора столь сильное отвращение, что он отрицал существование иррациональных чисел.
Когда Пифагор провозгласил, что Вселенной управляют числа, он имел в виду только целые числа и их отношения, называемые рациональными числами. Иррациональное же число не является ни целым, ни дробью, и именно это обстоятельство казалось Пифагору отвратительным. Действительно, иррациональные числа настолько необычны, что их невозможно записать в виде конечных десятичных дробей или бесконечных периодических дробей. Например, такая бесконечная периодическая непрерывная дробь, как 0,111111…, — число весьма и весьма обыкновенное: оно равно дроби 1/9. То, что единица повторяется неограниченно много раз, означает лишь, что данное десятичное число обладает очень простой и регулярной структурой. В свою очередь такая строгая регулярность, несмотря на неоднократное (в действительности — бесконечнократное) повторение, означает, что данную бесконечную десятичную дробь можно записать в виде обыкновенной дроби. Но если вы захотите представить иррациональное число в виде десятичной дроби, то у вас получится бесконечная дробь, структура которой не будет регулярной и сколько-нибудь обозримой.
Для Пифагора идея красоты математики состояла в том, что рациональные числа (целые числа и обыкновенные дроби) позволяют объяснить все явления в природе. Эта путеводная философия ослепила Пифагора, не давая ему увидеть существование иррационального числа и, возможно, даже привела к казни одного из его учеников. Легенда рассказывает о том, что один из учеников Пифагора по имени Гиппас на досуге забавлялся с числом ?2, пытаясь найти эквивалентную ему обыкновенную дробь. В конце концов он понял, что такой дроби не существует, т. е. ?2 — иррациональное число. Совершив столь важное открытие, Гиппас, должно быть, пришел в неописуемый восторг, чего нельзя было сказать о его учителе. Пифагор определял все происходящее в мире с помощью рациональных чисел, и существование иррациональных чисел ставило под сомнение его идеал. Открытие Гиппаса могло бы повлечь за собой период споров и сомнений, и Пифагору пришлось бы признать новый источник чисел. Но Пифагор не хотел признать свои заблуждения и в то же время не мог разрушить аргументацию Гиппаса силой логики. К своему вечному позору, он приговорил Гиппаса к смерти через утопление.
Отец логики и математического метода прибег к силе, но так и не признал, что был неправ. Это было его самым позорным деянием и, возможно, величайшей трагедией греческой математики. Иррациональные числа обрели «права гражданства» в математике только после смерти Пифагора.
Введение иррациональных чисел означало гигантский прорыв в математике. Математики получили возможность бросить взгляд за пределы целых чисел и обыкновенных дробей, оглядеться и открывать или, быть может, изобретать новые числа. По словам математика XIX века Леопольда Кронекера: «Бог создал целые числа; все остальное дело рук человеческих».
Самым замечательным иррациональным числом по праву считается число ?. В школе его иногда заменяют приближенным значением 31/7 или 3,14. Истинное значение ? ближе к 3,14159265358979323846, но и эта длинная десятичная дробь — не более чем приближение к истинному значению числа ?. В действительности же число ? невозможно точно представить в виде десятичной дроби, так как десятичная дробь получается бесконечной и в распределении цифр нет никакой закономерности. Одна из замечательных особенностей случайного распределения цифр в десятичной записи числа ? заключается в том, что вычислить ее можно с помощью весьма регулярного соотношения:
Вычислив первые несколько членов, вы можете получить весьма грубое приближение к ?, однако последующие вычисления дают довольно хорошее приближение.
Вообще говоря, для вычисления длины окружности Вселенной с точностью до радиуса атома водорода достаточно знание 39 знаков числа ?. Тем не менее, это не мешает специалистам вычислять число ? на компьютере с очень большим количеством знаков. Текущий рекорд принадлежит Ясумасе Канаде из Токийского университета, который в 1996 году вычислил 6 миллиардов знаков десятичного разложения числа ?. Недавно прошел слух о том, что русские по происхождению братья Чудновские из Нью-Йорка вычислили 8 миллиардов знаков десятичного разложения числа ? и намереваются вычислить триллион десятичных знаков. Если Канада или братья Чудновские вознамерились бы продолжать свои вычисления до тех пор, пока их компьютеры не исчерпают всю энергию во Вселенной, то и тогда им не удалось бы найти точное значение числа ?. Нетрудно понять, почему Пифагор настаивал на том, чтобы сведения о существовании столь необычных математических «зверей» оставались достоянием лишь узкого круга посвященных.
Значение числа ? с более чем 1500 знаками
3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582
0974944592307816406286208998628034825342117067982148086
5132823066470938446095505822317253594081284811174502841
0270193852110555964462294895493038196442881097566593344
6128475648233786783165271201909145648566923460348610454
3266482133936072602491412737245870066063155881748815209
2096282925409171536436789259036001133053054882046652138
4146951941511609433057270365759591953092186117381932611
7931051185480744623799627495673518857527248912279381830
1194912983367336244065664308602139494639522473719070217
9860943702770539217176293176752384674818467669405132000
5681271452635608277857713427577896091736371787214684409
0122495343014654958537105079227968925892354201995611212
9021960864034418159813629774771309960518707211349999998
3729780499510597317328160963185950244594553469083026425
2230825334468503526193118817101000313783875288658753320
8381420617177669147303598253490428755468731159562863882
3537875937519577818577805321712268066130019278766111959
0921642019893809525720106548586327886593615338182796823
0301952035301852968995773622599413891249721775283479131
5155748572424541506959508295331168617278558890750983817
5463746493931925506040092770167113900984882401285836160
3563707660104710181942955596198946767837449448255379774
7268471040475346462080466842590694912933136770289891521
0475216205696602405803815019351125338243003558764024749
6473263914199272604269922796782354781636009341721641219
9245863150302861829745557067498385054945885869269956909
2721079750930295532116534498720275596023648066549119881
8347977535663698074265425278625518184175746728909777727
938000816470200161452491921732172147723501414419735
Когда Евклид отважился рассмотреть проблему иррациональности в десятом томе «Начал», его цель состояла в том, чтобы доказать существование числа, не представимого в виде обыкновенной дроби.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81