В современной математике нуль выполняет две функции. Во-первых, нуль позволяет нам различать такие числа, как 52 и 502. В системе счисления, в которой положение цифры определяет ее значение, символ 0 необходим для обозначения пустой позиции. Например, 52 означает 5 раз по десять плюс 2 раза по единице, в то время как 502 означает 5 раз по сто, 0 раз по десять и 2 раза по единице. Нуль играет решающую роль при устранении неоднозначности. Даже вавилоняне, жившие за три тысячи лет до н. э., оценили использование нуля во избежание путаницы, и греки восприняли идеи вавилонян, используя кружок, похожий на тот символ нуля, который мы используем сегодня. Однако нуль выполняет еще одну, более деликатную и значительную, функцию, которую полностью оценили лишь через несколько столетий индийские математики. Они осознали, что нуль не только позволяет заполнить пробел между значащими цифрами, но и существует сам по себе, независимо от других чисел. Так абстрактное понятие «ничего» впервые обрело свой осязаемый символ.
Современному читателю изобретение нуля может показаться тривиальным шагом, но не следует забывать о том, что именно вторая, более глубокая функция нуля ускользнула от внимания всех древнегреческих философов, в том числе Аристотеля. По мнению Аристотеля нуль должен был быть объявлен вне закона, поскольку он нарушал единообразие других чисел: деление обыкновенного числа на нуль приводило к непостижимому результату. К VI веку индийские математики уже не заметали проблему нуля под ковер, а индийский ученый VII века Брахмагупта оказался уже настолько искушенным, что использовал деление на нуль для определения бесконечности.
В то время как Европа оставила благородный поиск истины, Индия и Аравия укрепляли знание, тайно похищенное на пепелище Александрии, и излагали его на новом, более выразительном языке. Индийские и арабские математики не только пополнили математический словарь нулем, но и заменили примитивные греческие символы и неуклюжие римские числительные общепринятой и ныне системой счисления. Последнее достижение, как и введение нуля, может показаться ничтожно малым продвижением, но попробуйте умножить CLV на DCI, и вы оцените значение этого прорыва: эквивалентная задача умножения 155 на 601 гораздо проще. Развитие любой научной дисциплины зависит от ее способности развивать свои идеи и обмениваться ими, а это в свою очередь определяется научным языком, который должен быть достаточно подробным и гибким. Идеи Пифагора и Евклида отличались большим изяществом, несмотря на грубое и неуклюжее оформление, но после перевода в арабскую символику они расцвели и принесли много плодов, породив новые и богатые понятия.
В X веке французский ученый Герберт Аврилакский перенял новую систему счисления у испанских мавров и, занимаясь преподаванием в церквах и школах по всей Европе, внедрил новую систему на Западе. В 999 году он был избран папой Сильвестром II, и это позволило ему способствовать еще большему распространению новых индо-арабских цифр. И хотя необычная эффективность новой системы счисления произвела подлинный переворот в выполнении всех счетных операций и была быстро воспринята купцами, она слабо способствовала оживлению европейской математики.
Жизненно важным, поворотным пунктом в развитии западной математики стал 1453 год, когда турки разграбили Константинополь. За прежние годы рукописи, спасенные после уничтожения Александрии, нашли убежище в Константинополе, и теперь снова оказались под угрозой уничтожения. Византийские ученые бежали на запад, прихватив с собой те тексты, которые могли унести. Пережив нападения Цезаря, епископа Теофила, халифа Омара, а теперь еще и турок, несколько драгоценных книг «Арифметики» Диофанта проделали обратный путь в Европу. Судьба распорядилась так, чтобы сочинение Диофанта оказалось на письменном столе Пьера де Ферма.
Рождение проблемы
Судебные обязанности Ферма поглощали значительную часть его времени, а те скудные часы досуга, которые все же оставались, Ферма целиком посвящал математике. Отчасти это объяснялось тем, что во Франции XVII века не поощрялись светские связи судей.
Считалось, что друзья и светские знакомые судей сами могут оказаться под судом, и тогда личные связи могут помешать осуществлению правосудия. Изолированный от остальной части высшего общества Тулузы, Ферма мог сосредоточиться на своем любимом занятии.
Фронтиспис перевода «Арифметики» Диофанта выполненного Клодом Гаспаром Баше и опубликованного в 1621 году. Эта книга во многом вдохновила Ферма на его исследования
Не сохранилось никаких документальных свидетельств того, что у Ферма был учитель математики, который поощрял своего способного ученика. Наставником и учителем Ферма стала «Арифметика» Диофанта. В «Арифметике» теория чисел, как было принято во времена Диофанта, излагалась в виде ряда задач и их решений. В действительности Диофант развернул перед Ферма картину целого тысячелетия, заслуживающего осмысления со стороны математика. В одной «Арифметике» Ферма мог найти все, что было известно о числах благодаря трудам последователей Пифагора и Евклида. Теория чисел замерла после варварского сожжения Александрии, но Ферма преисполнился решимости возродить изучение самой фундаментальной из всех математических дисциплин.
Книга, вдохновившая Ферма, была латинским переводом «Арифметики», выполненным Клодом Гаспаром Баше де Мезириаком, считавшимся самым ученым человеком во всей Франции. Блестящий лингвист, поэт и знаток классических языков и литературы, Баше питал любовь к математическим задачам-головоломкам. Его первой публикацией был сборник занимательных задач под названием «Problemes plaisans et delectables qui se font par les nombres» . В сборнике были задачи о переправах через реку, переливании жидкостей и несколько фокусов с отгадыванием задуманного числа. Одна из задач ставила вопрос о подборе гирь: «Каков наименьший набор гирь, который позволит взвесить любой груз весом от 1 до 40 кг?»
Баше нашел остроумное решение задачи, показывающее, что удовлетворить ее требованиям можно, располагая набором всего лишь из четырех гирь. Решение Баше приводится в Приложении 4.
Хотя Баше был в математике всего лишь дилетантом, его интерес к задачам-головоломкам был настолько велик, что позволил ему осознать: задачи, приведенные в «Арифметике» Диофанта, — не просто головоломки и требуют более глубокого изучения. Баше поставил перед собой задачу перевести труд Диофанта и опубликовать его с тем, чтобы вдохнуть в методы греческих математиков новую жизнь. Следует иметь в виду, что подавляющее большинство достижений древних математиков было полностью забыто. Высшую математику не изучали даже в самых крупных европейских университетах, и только благодаря таким ученым, как Баше, она стала быстро возрождаться. Публикация в 1621 году выполненного Баше латинского перевода «Арифметики» Диофанта была его вкладом в начало второго золотого века в истории математики.
В «Арифметике» собраны сотни задач, и каждую из них Диофант снабдил подробным решением. Ферма не перенял столь высокий уровень доступности. Его совсем не интересовало создание учебника для будущих поколений. Он жаждал лишь одного — получить удовлетворение от решенной им задачи.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81