Отношение основания к следствию как в одном, так и в других его видах имеет необходимый характер; оно вообще является источником и единственным смыслом понятия необходимости. Не существует другой необходимости, кроме той, что необходимо следствие, если дано основание, и не существует основания, которое не влекло бы за собой необходимости следствия. И подобно тому, как несомненно из данного в посылках основания познания вытекает выражаемое в заключении следствие, так же несомненно основание бытия в пространстве; если я наглядно понял соотношение двух последних, то его несомненность так же велика, как и любая логическая достоверность. А выражением такого соотношения и служит каждая геометрическая теорема, — не менее, чем какая-нибудь из двенадцати аксиом: ведь теорема представляет собой метафизическую истину и таковая столь же непосредственно достоверна, как и самый закон противоречия, являющийся металогической истиной, и общей основой всякого логического доказательства. Кто отрицает наглядно представленную необходимость пространственных отношений, выражаемых в какой-либо теореме, тот может с одинаковым правом отрицать и аксиомы, с одинаковым правом отрицать вывод заключения из посылок и даже самый закон противоречия: ибо все это — одинаково недоказуемые, непосредственно очевидные и a priori познаваемые отношения. Поэтому, если наглядно познаваемую необходимость пространственных отношений хотят непременно выводить путем логического доказательства из закона противоречия, то это похоже на то, как если бы непосредственному владельцу земли кто-то другой захотел отдать, ее сперва в ленное владение. Именно так поступает Евклид. Только свои аксиомы он поневоле обосновывает непосредственной очевидностью; все же последующие геометрические истины подвергаются логическому доказательству, основанному либо на предпосылке этих аксиом и согласии со сделанными в теореме допущениями или с какой-нибудь прежней теоремой, либо на том, что противоположность теоремы противоречит допущениям, аксиомам, прежним теоремам или даже самой себе. Но аксиомы не имеют большей непосредственной очевидности, чем любая другая геометрическая теорема: они только проще, потому что менее содержательны.
Когда допрашивают преступника, его показания заносят в протокол, чтобы выяснить истину из их взаимной согласованности. Но этим приемом пользуются вынужденно и к нему не прибегают, если можно непосредственно узнать истину каждого отдельного показания, тем более, что преступник с самого начала может последовательно лгать. И все-таки Евклид исследовал пространство по первому методу. Правда, он исходил при этом из верной предпосылки, что природа везде, а значит, и в основной своей форме, пространстве, должна быть последовательна, и потому, так как части пространства находятся между собой в отношении причины и следствия, ни одно пространственное отношение не может быть иным, чем оно есть, не вступая в противоречие со всеми другими. Но это очень трудный и неудовлетворительный окольный путь, он предпочитает косвенное познание столь же достоверному непосредственному, он разделяет, к великому ущербу для науки, познание того, что нечто есть , от познания того, почему оно есть , он, наконец, совсем закрывает для учащегося проникновение в законы пространства и даже отучает его от действительного исследования причины и внутренней связи вещей, приучая его взамен довольствоваться историческим знанием, что это обстоит так . Столь упорно приписываемое этому методу упражнение в остроумии состоит просто в том, что ученик упражняется в умозаключениях, т. е. в применении закона противоречия, в особенности же он напрягает свою память, чтобы удержать все те данные, взаимное согласие которых подлежит сравнению.
Замечательно, впрочем, что этот способ доказательства применяется только в геометрии, а не в арифметике, где, напротив, истине действительно дают возможность проявляться только путем созерцания, состоящем здесь в простом счете. Так как созерцание чисел происходит только во времени и потому не может быть представлено никакой чувственной схемой, подобно геометрической фигуре, то здесь само собой отпало подозрение, будто созерцание имеет лишь эмпирический характер и потому бывает обманчиво, — а только это подозрение и могло повлечь за собою в геометрии логический метод доказательства. Ввиду того, что время обладает лишь одним измерением, счет — единственная операция, к которой должны быть сведены все другие; а этот счет есть ведь не что иное, как созерцание a priori, на которое ссылаются здесь без всякого колебания и которое одно служит окончательной поверкой для всего остального, для каждого вычисления, каждого уравнения. Не доказывают, например, что (7 + 9 x 8–2): 3 = 42, а ссылаются на чистое созерцание во времени, счет, и таким образом каждое отдельное положение обращают в аксиому. Вместо доказательств, наполняющих геометрию, все содержание арифметики и алгебры является поэтому только методом сокращения счета. Правда, наше непосредственное созерцание чисел во времени, как указано выше, не идет дальше десяти; за этими пределами созерцание должно уступать место абстрактному понятию числа, фиксированному в слове, и созерцание реально уже не совершается, а только обозначается с полной определенностью. Однако даже и в этом случае, благодаря важному вспомогательному средству числового порядка, который позволяет большие числа всегда изображать одними и теми же малыми, — и в этом случае можно придавать каждому вычислению наглядную очевидность. Это осуществимо даже и тогда, когда до такой степени прибегают к абстракции, что не только числа, но и неопределенные величины и целые операции мыслятся лишь in abstracto и обозначаются в соответствии с этим, например: ?r-b, так что подобные операции уже не совершаются, а на них указывают.
С таким же правом и такой же достоверностью, как в арифметике, можно было бы и в геометрии доказывать истину одним только чистым созерцанием a priori. В сущности именно эта, по закону основания бытия наглядно познанная необходимость и сообщает геометрии ее великую очевидность, и именно на ней основывается в сознании каждого достоверность геометрических теорем, а вовсе не на ходульном логическом доказательстве, которое всегда далеко от существа дела, по большей части забывается, без ущерба для нашей убежденности, и могло бы отсутствовать, совсем не уменьшая этим очевидности геометрии, ибо она совершенно от него не зависит. Такое доказательство всегда подтверждает лишь то, в чем мы вполне убедились уже до этого, другим способом познания, и в этом отношении оно похоже на трусливого солдата, который наносит лишнюю рану врагу, убитому другим, и потом хвалится, что это он его сразил.
Ввиду всего этого, вероятно, не будет больше сомнения в том, что очевидность математики, сделавшаяся образцом и символом всякой очевидности, по своему существу основывается не на доказательствах, а на непосредственном созерцании, которое, следовательно, здесь, как и везде, является последним основанием и источником всякой истины. Тем не менее, созерцание, лежащее в основе математики, имеет большое преимущество перед всяким другим, т.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139
Когда допрашивают преступника, его показания заносят в протокол, чтобы выяснить истину из их взаимной согласованности. Но этим приемом пользуются вынужденно и к нему не прибегают, если можно непосредственно узнать истину каждого отдельного показания, тем более, что преступник с самого начала может последовательно лгать. И все-таки Евклид исследовал пространство по первому методу. Правда, он исходил при этом из верной предпосылки, что природа везде, а значит, и в основной своей форме, пространстве, должна быть последовательна, и потому, так как части пространства находятся между собой в отношении причины и следствия, ни одно пространственное отношение не может быть иным, чем оно есть, не вступая в противоречие со всеми другими. Но это очень трудный и неудовлетворительный окольный путь, он предпочитает косвенное познание столь же достоверному непосредственному, он разделяет, к великому ущербу для науки, познание того, что нечто есть , от познания того, почему оно есть , он, наконец, совсем закрывает для учащегося проникновение в законы пространства и даже отучает его от действительного исследования причины и внутренней связи вещей, приучая его взамен довольствоваться историческим знанием, что это обстоит так . Столь упорно приписываемое этому методу упражнение в остроумии состоит просто в том, что ученик упражняется в умозаключениях, т. е. в применении закона противоречия, в особенности же он напрягает свою память, чтобы удержать все те данные, взаимное согласие которых подлежит сравнению.
Замечательно, впрочем, что этот способ доказательства применяется только в геометрии, а не в арифметике, где, напротив, истине действительно дают возможность проявляться только путем созерцания, состоящем здесь в простом счете. Так как созерцание чисел происходит только во времени и потому не может быть представлено никакой чувственной схемой, подобно геометрической фигуре, то здесь само собой отпало подозрение, будто созерцание имеет лишь эмпирический характер и потому бывает обманчиво, — а только это подозрение и могло повлечь за собою в геометрии логический метод доказательства. Ввиду того, что время обладает лишь одним измерением, счет — единственная операция, к которой должны быть сведены все другие; а этот счет есть ведь не что иное, как созерцание a priori, на которое ссылаются здесь без всякого колебания и которое одно служит окончательной поверкой для всего остального, для каждого вычисления, каждого уравнения. Не доказывают, например, что (7 + 9 x 8–2): 3 = 42, а ссылаются на чистое созерцание во времени, счет, и таким образом каждое отдельное положение обращают в аксиому. Вместо доказательств, наполняющих геометрию, все содержание арифметики и алгебры является поэтому только методом сокращения счета. Правда, наше непосредственное созерцание чисел во времени, как указано выше, не идет дальше десяти; за этими пределами созерцание должно уступать место абстрактному понятию числа, фиксированному в слове, и созерцание реально уже не совершается, а только обозначается с полной определенностью. Однако даже и в этом случае, благодаря важному вспомогательному средству числового порядка, который позволяет большие числа всегда изображать одними и теми же малыми, — и в этом случае можно придавать каждому вычислению наглядную очевидность. Это осуществимо даже и тогда, когда до такой степени прибегают к абстракции, что не только числа, но и неопределенные величины и целые операции мыслятся лишь in abstracto и обозначаются в соответствии с этим, например: ?r-b, так что подобные операции уже не совершаются, а на них указывают.
С таким же правом и такой же достоверностью, как в арифметике, можно было бы и в геометрии доказывать истину одним только чистым созерцанием a priori. В сущности именно эта, по закону основания бытия наглядно познанная необходимость и сообщает геометрии ее великую очевидность, и именно на ней основывается в сознании каждого достоверность геометрических теорем, а вовсе не на ходульном логическом доказательстве, которое всегда далеко от существа дела, по большей части забывается, без ущерба для нашей убежденности, и могло бы отсутствовать, совсем не уменьшая этим очевидности геометрии, ибо она совершенно от него не зависит. Такое доказательство всегда подтверждает лишь то, в чем мы вполне убедились уже до этого, другим способом познания, и в этом отношении оно похоже на трусливого солдата, который наносит лишнюю рану врагу, убитому другим, и потом хвалится, что это он его сразил.
Ввиду всего этого, вероятно, не будет больше сомнения в том, что очевидность математики, сделавшаяся образцом и символом всякой очевидности, по своему существу основывается не на доказательствах, а на непосредственном созерцании, которое, следовательно, здесь, как и везде, является последним основанием и источником всякой истины. Тем не менее, созерцание, лежащее в основе математики, имеет большое преимущество перед всяким другим, т.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139