Оно не определяется, а поясняется примерами. Можно говорить о множестве всех книг, составляющих данную библиотеку, множестве всех точек данной прямой и т. д Далее вводится понятие «принадлежать», то есть «быть элементом множества». Так, книги, точки являются элементами соответствующих множеств. Для определения множества необходимо указать свойство, которым обладают все его элементы.
С появлением теории множеств казалось, что математика обретает ясность и законченность. Теперь ее грандиозное здание напоминало несокрушимую крепость. Оно было прочно заложено и обосновано во всех своих частях. Недаром же крупнейший французский математик того времени А. Пуанкаре в послании очередному математическому конгрессу торжественно заявлял, что отныне все может быть выражено с помощью «целых чисел и конечных и бесконечных систем целых чисел, связанных сетью равенств и неравенств».
Увы. скоро, очень скоро обнаружились сначала частные, а позднее фундаментальные изъяны. Но здесь в разговор вмешивается логика.
Дело в том, что основные понятия теории множеств допускали логическое описание. Доказательство возможности существования математических объектов также получало логическое оправдание. Мы не будем вникать в детали. Отметим лишь следующее. Многие исследователи, учитывая только что сказанное, задались целью свести математику к логике, то есть выразить исходные математические понятия и операции логически. Казалось даже, что эта программа — ее назвали программой логицизма — близка к завершению. Немецкий логик и математик Г. Фреге уже заканчивал и частью издал трехтомный труд «Обоснования арифметики», венчающий усилия логицистов, как вдруг разразилась «арифметическая катастрофа».
В 1902 году молодой английский логик Б. Рассел обратил внимание Г. Фреге на противоречивость его исходных позиций. Г. Фреге использовал такие понятия, что это вело к парадоксу. Попробуем в нем разобраться.
Мы уже говорили, что множество (класс) есть совокупность объектов, которые и составляют элементы данного множества. Поскольку само множество тоже объект, как и его элементы, то вставал вопрос, является ли множество элементом самого себя, то есть принадлежит ли оно к числу элементов собственного класса?
В этом пункте начиналось интересное.
Есть два вида классов. Одни содержат себя в качестве собственного элемента. Например, класс списков, Его элементами являются конкретные списки. Скажем, список книг какой-либо библиотеки, список студентов некоторой группы и т. д. Но и сам класс оказывается в числе своих элементов, потому что список списков есть также список. Аналогично и каталог каталогов есть каталог.
Однако подобных классов очень немного. Обычно же классы не содержат себя в качестве собственного элемента. Возьмем, например, множество «человек».
Его составляют конкретные люди: Петров, Сидоров, Аристотель. Любой человек, молодой или в возрасте, мужчина или женщина, студент или профессор — каждый из них является элементом множества «человек».
Само же это множество элементом собственного класса стать не может, ибо нет человека вообще, человека как такового. Это не более чем абстракция, понятие, которое отвлечено от всех конкретных признаков и существует только в идеальном виде как мысленная конструкция.
А теперь образуем класс из всех вот таких классов, которые не включают себя в качестве своего элемента: «человек», «дерево», «планета» и т. п. Образовали. Попытаемся также определить, будет ли он, этот новый класс, входить элементом в свое же множество или не будет? Здесь и возникал парадокс. Если мы включим его в свой класс, то его надо выключить, потому что сюда, по условию, входят только те множества, которые не являются собственными элементами. Но если выключим, тогда надо включить, поскольку он будет удовлетворять условию: он же в этом случае не является элементом своего множества.
Таков смысл парадокса, названного именем Б. Рассела. Имеется его популярное изложение — «парадокс парикмахера». Он приписывается также Б. Расселу.
В некой деревне, где жил единственный парикмахермужчина, был издан указ: «Парикмахер имеет право брить тех и только тех жителей деревни, которые не бреются сами». Спрашивается, может ли парикмахер брить сам себя? Как будто не может, поскольку это запрещено указом. И вместе с тем, если он не бреет себя, значит, попадает в число тех жителей, которые не бреются сами, а таких людей парикмахер имеет право брить.
Но логический парадокс, выявленный Б. Расселом, был свидетельством противоречий в содержании математической теории. Согласно одной из теорем Г. Кантора не существует самого мощного множества, то есть множества, обладающего наибольшим кардинальным (количественным) числом. Не существует потому, что для любого сколь угодно мощного множества можно указать еще более мощное.
Это с одной стороны. А с другой, интуитивно очевидно, что множество всех множеств должно быть самым мощным, ведь оно представляет совокупность всех множеств, какие только могут существовать, вообще включает все мыслимые множества.
Выступление Б. Рассела имело широкий резонанс.
Конечно, парадоксы были отмечены и до него. О математическом парадоксе знал, в частности, и Г. Кантор.
Знал, но надеялся устранить. Однако Б. Рассел обнажил самую суть противоречий, показав, что здесь не обойтись «текущим ремонтом» и нужны фундаментальные перемены. Парадоксы посыпались как из рога изобилия. Вспомнили и о тех, что были выявлены еще древними (в частности, «парадокс лжеца»), изобретали новые: "никогда не говори «никогда», «каждое правило имеет исключение», «всякое обобщение неверно». Это популярные. Шли поиски и с серьезными намерениями.
В логике, лингвистике, математике — повсюду находили не замечаемые ранее противоречия
Всколыхнув математику, парадоксы оказали плодотворное влияние на ее развитие. Возникло новое обоснование этой древней науки. Оно опиралось "же не на логические, а на интуитивные начала и породило новое направление в математике — конструктивную ветвь.
Она принесла свежие нетрадиционные методы построения математических объектов и соответственно — нетрадиционные пути развития математической теории.
Одновременно получили импульс и классические разделы: был уточнен язык, введены более строгие понятия, шлифовались доказательства. Как писал Б. Рассел, благодаря выявлению и преодолению парадоксов, математика стала более логической. Впрочем, обогатилась и логика, которая стала более математическом.
Таким образом, прослеживая историю vu, латики, мы можем вслед за известным американский ученым Ф. Дэйвисом, сказать, что во все времена, в любой точке своей эволюции стоило математике оказаться в кризисном положении, как ее спасала какая-нибудь новая идея. Она придавала математике строгость, восстанавливая авторитет непогрешимой науки. Поэтому не стоит бояться парадоксов, ибо самые трепетные из них «могут расцвести прекрасными теориями».
«А РАЗВЕ ЧТО-НИБУДЬ ЕЩЕ ОСТАЛОСЬ ОТКРЫВАТЬ?»
Мы отметили наиболее сильные потрясения, постигшие математику. Но ее история хранит немало других, хотя и не столь острых, однако глубоких сдвигов, повлиявших на судьбы науки.
И так везде, в любой отрасли знания.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
С появлением теории множеств казалось, что математика обретает ясность и законченность. Теперь ее грандиозное здание напоминало несокрушимую крепость. Оно было прочно заложено и обосновано во всех своих частях. Недаром же крупнейший французский математик того времени А. Пуанкаре в послании очередному математическому конгрессу торжественно заявлял, что отныне все может быть выражено с помощью «целых чисел и конечных и бесконечных систем целых чисел, связанных сетью равенств и неравенств».
Увы. скоро, очень скоро обнаружились сначала частные, а позднее фундаментальные изъяны. Но здесь в разговор вмешивается логика.
Дело в том, что основные понятия теории множеств допускали логическое описание. Доказательство возможности существования математических объектов также получало логическое оправдание. Мы не будем вникать в детали. Отметим лишь следующее. Многие исследователи, учитывая только что сказанное, задались целью свести математику к логике, то есть выразить исходные математические понятия и операции логически. Казалось даже, что эта программа — ее назвали программой логицизма — близка к завершению. Немецкий логик и математик Г. Фреге уже заканчивал и частью издал трехтомный труд «Обоснования арифметики», венчающий усилия логицистов, как вдруг разразилась «арифметическая катастрофа».
В 1902 году молодой английский логик Б. Рассел обратил внимание Г. Фреге на противоречивость его исходных позиций. Г. Фреге использовал такие понятия, что это вело к парадоксу. Попробуем в нем разобраться.
Мы уже говорили, что множество (класс) есть совокупность объектов, которые и составляют элементы данного множества. Поскольку само множество тоже объект, как и его элементы, то вставал вопрос, является ли множество элементом самого себя, то есть принадлежит ли оно к числу элементов собственного класса?
В этом пункте начиналось интересное.
Есть два вида классов. Одни содержат себя в качестве собственного элемента. Например, класс списков, Его элементами являются конкретные списки. Скажем, список книг какой-либо библиотеки, список студентов некоторой группы и т. д. Но и сам класс оказывается в числе своих элементов, потому что список списков есть также список. Аналогично и каталог каталогов есть каталог.
Однако подобных классов очень немного. Обычно же классы не содержат себя в качестве собственного элемента. Возьмем, например, множество «человек».
Его составляют конкретные люди: Петров, Сидоров, Аристотель. Любой человек, молодой или в возрасте, мужчина или женщина, студент или профессор — каждый из них является элементом множества «человек».
Само же это множество элементом собственного класса стать не может, ибо нет человека вообще, человека как такового. Это не более чем абстракция, понятие, которое отвлечено от всех конкретных признаков и существует только в идеальном виде как мысленная конструкция.
А теперь образуем класс из всех вот таких классов, которые не включают себя в качестве своего элемента: «человек», «дерево», «планета» и т. п. Образовали. Попытаемся также определить, будет ли он, этот новый класс, входить элементом в свое же множество или не будет? Здесь и возникал парадокс. Если мы включим его в свой класс, то его надо выключить, потому что сюда, по условию, входят только те множества, которые не являются собственными элементами. Но если выключим, тогда надо включить, поскольку он будет удовлетворять условию: он же в этом случае не является элементом своего множества.
Таков смысл парадокса, названного именем Б. Рассела. Имеется его популярное изложение — «парадокс парикмахера». Он приписывается также Б. Расселу.
В некой деревне, где жил единственный парикмахермужчина, был издан указ: «Парикмахер имеет право брить тех и только тех жителей деревни, которые не бреются сами». Спрашивается, может ли парикмахер брить сам себя? Как будто не может, поскольку это запрещено указом. И вместе с тем, если он не бреет себя, значит, попадает в число тех жителей, которые не бреются сами, а таких людей парикмахер имеет право брить.
Но логический парадокс, выявленный Б. Расселом, был свидетельством противоречий в содержании математической теории. Согласно одной из теорем Г. Кантора не существует самого мощного множества, то есть множества, обладающего наибольшим кардинальным (количественным) числом. Не существует потому, что для любого сколь угодно мощного множества можно указать еще более мощное.
Это с одной стороны. А с другой, интуитивно очевидно, что множество всех множеств должно быть самым мощным, ведь оно представляет совокупность всех множеств, какие только могут существовать, вообще включает все мыслимые множества.
Выступление Б. Рассела имело широкий резонанс.
Конечно, парадоксы были отмечены и до него. О математическом парадоксе знал, в частности, и Г. Кантор.
Знал, но надеялся устранить. Однако Б. Рассел обнажил самую суть противоречий, показав, что здесь не обойтись «текущим ремонтом» и нужны фундаментальные перемены. Парадоксы посыпались как из рога изобилия. Вспомнили и о тех, что были выявлены еще древними (в частности, «парадокс лжеца»), изобретали новые: "никогда не говори «никогда», «каждое правило имеет исключение», «всякое обобщение неверно». Это популярные. Шли поиски и с серьезными намерениями.
В логике, лингвистике, математике — повсюду находили не замечаемые ранее противоречия
Всколыхнув математику, парадоксы оказали плодотворное влияние на ее развитие. Возникло новое обоснование этой древней науки. Оно опиралось "же не на логические, а на интуитивные начала и породило новое направление в математике — конструктивную ветвь.
Она принесла свежие нетрадиционные методы построения математических объектов и соответственно — нетрадиционные пути развития математической теории.
Одновременно получили импульс и классические разделы: был уточнен язык, введены более строгие понятия, шлифовались доказательства. Как писал Б. Рассел, благодаря выявлению и преодолению парадоксов, математика стала более логической. Впрочем, обогатилась и логика, которая стала более математическом.
Таким образом, прослеживая историю vu, латики, мы можем вслед за известным американский ученым Ф. Дэйвисом, сказать, что во все времена, в любой точке своей эволюции стоило математике оказаться в кризисном положении, как ее спасала какая-нибудь новая идея. Она придавала математике строгость, восстанавливая авторитет непогрешимой науки. Поэтому не стоит бояться парадоксов, ибо самые трепетные из них «могут расцвести прекрасными теориями».
«А РАЗВЕ ЧТО-НИБУДЬ ЕЩЕ ОСТАЛОСЬ ОТКРЫВАТЬ?»
Мы отметили наиболее сильные потрясения, постигшие математику. Но ее история хранит немало других, хотя и не столь острых, однако глубоких сдвигов, повлиявших на судьбы науки.
И так везде, в любой отрасли знания.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60