А. Пуанкаре отмечает, например, следующее. Открытие в математике состоит, по его мнению, не просто в конструировании всевозможных комбинаций, а в отборе того меньшинства из них, которое приносит пользу.
То есть открытие в значительной мере есть отбор Но отбор, меньше всего представляющий перебор вариантов, наподобие того, как покупатель выбирает товар.
Иначе операция затянулась бы до бесконечности.
Дело в том, что в сферу внимания ученого попадают обычно лишь плодотворные сочетания, а остальные сразу же отметаются. Получается так, словно исследователь держит в уме некоего предварительного экзаменатора, допускающего к окончательным испытаниям только тех кандидатов, которые удовлетворяют определенным требованиям. Как считает А. Пуанкаре, роль этого предварительного экзаменатора и выполняют эстетические идеалы красоты, изящества, элегантности. Они направляют мысль ученого по нужному руслу, служат ориентиром в его исканиях, хотя и идут, как видим, не от разума, а от чувств.
И наконец, чувства и эмоции питают творцов науки нравственно, ибо несут с собой большую этическую нагрузку. Ученый не отгорожен от моральных проблем эпохи, ему небезразлично, в частности, как могут быть использованы его открытия: послужат ли они прогрессу человечества, или обрекут его на погибель.
Подытоживая сказанное в этой затянувшейся главе, отметим, что интуиция отнюдь не работает против логики. Наоборот, лишь соединившись, они способны привести ученого к цели, лишь используя преимущества той и другой, можно достичь наивысшей пользы. Не разделять и не противопоставлять, а вырабатывать исследовательский настрой, опирающийся на методы единого абстрактно-эмоционального, логико-интуитивного мышления.

«ПАРАДОКС ИЗОБРЕТАТЕЛЯ»
ВСЕ НАОБОРОТ
Что таится под названием этого парадокса? «Изобретатели велосипедов», опоздавшие родиться, или, наоборот, «чудаки», бросающие вызов здравому смыслу преждевременными открытиями?..
Ни то, ни другое; за этим именем скрывается столь же эффективный, сколь и интригующий обозначением исследовательский прием, эвристический (содействующий открытию) помощник в исканиях ученого.
Замечено, что научная проблема решается успешнее, если она осознана как общая и соответственно найден общий метод — такой, по отношению к которому метод решения исходной задачи оказывается лишь частным случаем. Этот прием и получил наименование «парадокса изобретателя».
Венгерский математик Д. Пойа, к авторитету которого мы обращаемся не только здесь, говорит о парадоксе в следующих выражениях: «Легче доказать более сильную теорему, чем более слабую». Напомним, что «слабым» принимается положение, логически выводимое из другого — «сильного». По-видимому, само название «парадокс изобретателя» изобрел где-то в начале нынешнего века также Д. Пойа. Во всяком случае, исследователи (И. Лакатос, например, тоже венгр) за разъяснениями отсылают к нему.
Чуть ранее немецкие математики П. Дирихле и Р. Дедекинд делятся наблюдением: «Как часто случается, общая задача оказывается легче, чем была бы частная, если бы мы пытались решить ее непосредственно в лоб».
Ситуация, что и говорить, необычная. Кажется естественным, что частная, близкая к повседневности, жизненным наблюдениям задача должна скорее поддаваться решению, нежели общая, «сильная», то есть, надо полагать, более глубокая. А получается наоборот. Получается, что к абстрактной, отрешенной от практики проблеме можно подобрать ключи быстрее, чем к проблеме, насыщенной конкретным, опытным содержанием.
И все же, сколь ни парадоксально положение, ему находятся удовлетворительные, можно сказать, вполне беспарадоксальные объяснения. По прежде чем рассказать о них, обратимся к свидетельствам истории науки.
Уже древним мыслителям означенный поворот мысли был ведом. Упомянутый прием лежит, в частности, в основе изобретенного еще на рубеже V — IV веков до нашей эры древнегреческим математиком Евдоксом метода «исчерпывания». Он применялся для измерения площадей конкретных фигур или объемов определенных тел и других частных задач, но был найден как общий методой представлял собой достаточно эффективный способ, явившийся предтечей интегрального исчисления.
И конечно же, мы не можем пройти мимо факта, хотя и снискавшего хрестоматийную известность, но очень убедительно демонстрирующего наш парадокс.
В III веке до н. э. тиран города Сиракузы Гиерон поручил однажды своему подданному Архимеду (находившемуся, кстати сказать, в близком родстве с Гиероном) определить, не подмешано ли к его золотой царской короне, изготовленной ювелирами, менее благородное серебро. Эту сугубо частную задачу Архимед смог решить лишь как общую, выявив знаменитый закон «подъемной силы», действующей на погруженное в жидкость тело.
…Долго бился Г. Лейбниц над задачей проведения касательной к кривой в заданной точке. Задача пришла из области строительной архитектуры и представлялась достаточно частной, но никак не давалась. А не пойти ли в обход, подумал ученый? То есть не решать ли не эту, а другую задачу, более общую, которая включала бы исходную в качестве одного из вариантов, но была значительно легче? Конкретно дело обстояло так.
Г. Лейбниц представил, что разыскивает не касательную, а прямую, пересекающею нашу кривую в данной точке (точке касания) и в некоторой другой, удаленной от первой известным расстоянием. В результате речь шла уже о проведении секущей. А это не составляло особого труда и осуществлялось благодаря уже разработанным приемам; скажем сильнее: с этой задачей мог справиться и школьник, знающий уравнение прямой.
Но, решив это, находим касательную уже как частный случай, именно путем сближения точек, когда расстояние между ними по дуге оказывается минимальным и в точке касания сводится к нулю, исчезает.
Так было изобретено дифференциальное исчисление — мощный, применимый во всех науках метод.
Определение же касательной — лишь эпизод в обширном классе проблем, которые могут быть решены с помощью этого всесильного математического аппарата.
Будучи не только математиком, но и философом, Г. Лейбниц не преминул выступить с методологическим наставлением. Он записывает: решая познавательною задачу, полезно «придумать какую-нибудь другую, общую задачу, которая содержит первоначальную и легче поддается решению». Как видим, это одно из первых осознаний (или, как нынче стало модным говорить, одна из рефлексий) «парадокса изобретателя». Затем последовало его использование в качестве инструмента эвристики.
Аналогичный прием, то есть поиск общего решения частной проблемы, лежал и у истоков интегрального исчисления.
Об И. Кеплере в ту пору, когда он стал знаменитым астрономом, императорским математиком и математиком провинции Верхняя Австрия (других титулов за неимением места не приводим), рассказывают. В 1613 году 42-летний ученый только что начал новую жизнь со второй женой Сусанной. Как заботливый муж, он решил запастись вином, благо был небывалый урожай винограда и вино стоило дешево. Когда бочки доставили во двор, появился купец, который, пользуясь лишь мерной линейкой, уверенно определял количество вина. Он опускал линейку в отверстие сосуда до упора в угол днища и после этого объявлял число амфор (тогдашняя мера емкости).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60