Далее, рассмотрим машину, в которой используются предложенные Мак-Каллохом правила 1, 2 и 4 (за исключением правила 3, то есть правила обращения). При такой машине у нас имеются два различных способа построения числа, которое порождает ассоциат самого себя, два способа построения числа, которое порождает свое собственное повторение; наконец, два способа построения числа, порождающего ассоциат своего повторения или повторение ассоциата самого себя.
Наконец, если у нас имеется произвольная машина, в которую заложены лишь правила 1 и 4, то принцип Крейга и законы Фергюссона продолжают выполняться и в этом случае. Таким образом, если бы мы вместо правила 2 воспользовались правилом 4, то для большинства задач, о которых шла речь в двух предыдущих главах, мы вполне могли бы получить альтернативные решения. (Понятно ли читателю, как все это можно сделать? Если нет, то можно обратиться к приведенным далее пояснениям.)
Я мог бы рассказать еще о многом, но лучше, пожалуй, будет сформулировать мои основные замечания в виде трех теорем.
Теорема 1. Закон Мак-Каллоха (который, как известно, гласит, что при любом А существует некое число X, которое порождает число АХ) оказывается справедливым не только для машин, подчиняющихся правилам 1 и 2, но и для машин, подчиняющихся правилам 1 и 4.
Теорема 2. Любая машина, которая подчиняется закону Мак-Каллоха, подчиняется также и двум принципам Крейга.
Теорема 3. Любая машина, которая подчиняется одновременно второму принципу Крейга и правилу 1, должна подчиняться также и всем законам Фергюссона.
Не сообразит ли читатель, как доказать все эти теоремы?
Решения
Рассмотрим сначала произвольную машину, которая подчиняется правилам 1 и 4. Как известно, при любом X число 52X порождает число XX; поэтому если выбрать в качестве X число 52, то мы получим, что число 5252 порождает число 5252. Итак, у нас есть число, которое порождает само себя. Кроме того, число 552552 порождает повторение самого себя. Далее, чтобы для любого А найти число X, которое порождает АХ, возьмем в качестве X число 52А 52 (в самом деле, оно порождает повторение числа А 52, которое есть число А52А52, то есть число АХ). Тем самым мы доказали теорему 1. (Если мы хотим найти число X, которое порождает повторение АХ, то в качестве X следует взять число 552А552.)
А теперь рассмотрим машину, которая подчиняется выведенным Мак-Каллохом правилам 1, 3 и 4. Числом, порождающим обращение самого себя, является, например, число 452452 (оно порождает обращение повторения числа 452, или, другими словами, обращение числа 452452). (Сравните его с предыдущим решением 43243.) Числом, которое порождает повторение обращения самого себя, является число 54525452. (Сравните его с прежним решением 5432543.)
Далее, рассмотрим машину, которая подчиняется правилам 1, 2 и 4. Мы знаем, что число 33233 порождает свой собственный ассоциат точно так же, как и число 352352. Что касается числа X, порождающего повторение самого себя, то у нас уже имеются два решения — это числа 35235 и 552552. Что же касается числа X, порождающего ассоциат повторения самого себя, то одним решением служит число 3532353; другим — число 35523552. Наконец, для числа, которое порождает повторение своего собственного ассоциата, также существуют два решения — это число 5332533 или число 53525352.
Наконец, рассмотрим некоторую произвольную машину, которая подчиняется по меньшей мере двум из правил Мак-Каллоха, а именно: правилам 1 и 4. Для заданного операционного числа М числом А, порождающим М(Х), оказывается число М52М52. (Сравните его с прежним решением — числом М32МЗ, полученным для машины, в которой вместо правила 4 используется правило 2.) Если теперь задано операционное число М и некое число А, то числом X, порождающим M(AX), будет число М52АМ52. (Сравните его с прежним решением — М32АМЗ.) Построенные решения показывают нам, что оба принципа Крейга могут быть получены на основании правил 1 и 4. Впрочем, я сформулировал гораздо более общее утверждение, а именно: для того чтобы получить принципы Крейга, достаточно одного только закона Мак-Каллоха (теорема 2). Это утверждение можно доказать тем же способом, который использовался нами в гл. 10. В самом деле, для любого заданного операционного числа М существует некое число Y, которое порождает MY; отсюда ясно, что число М У порождает М(М У). Поэтому число X порождает М(Х), где Х = МУ. Точно так же для любого числа А, если имеется некоторое число У, порождающее AMY, число МУ порождает М(АМУ) и, следовательно, число X порождает М(АХ) при Х = МУ.
Что же касается теоремы 3, то ее можно доказать так же, как это делалось в предыдущей главе. [Например, если даны операционные числа М и N и если выполняется второй принцип Крейга, то существует некое число X, которое порождает M(N2X). Если теперь мы обозначим число N2X через У, то получим, что число X порождает М(У), а число У порождаетN(X)]
Ключ
Дело, по которому Крейг поехал в Норвегию, заняло у него гораздо меньше времени, чем он предполагал, и ровно через три недели инспектор возвратился домой. Дома его ждала записка от Мак-Каллоха:
Дорогой Крейг!
Если ты случайно вернешься из Норвегии до 12 мая (это пятница), то приходи ко мне в этот день обедать. Фергюссона я уже пригласил.
С приветом
Норман Мак-Каллох
— Вот и отлично! — сказал себе Крейг. — Я вернулся как раз вовремя!
Крейг приехал к Мак-Каллоху минут через пятнадцать после того, как там появился Фергюссон.
— С благополучным возвращением! — приветствовал приятеля Мак-Каллох.
— Пока вас не было, — сразу же сообщил Фергюссон, — Мак-Каллох изобрел новую числовую машину!
— Ну да? — удивился Крейг.
— Я занимался этим не один, — сказал Мак-Каллох, — Фергюссон тоже приложил к ней руку. А вообще-то машина интересная; на этот раз в нее введены следующие четыре правила:
правило MI: для любого числа X число 2X2 порождает X;
правил о МII: если число X порождает число У, то число 6Х порождает число 2 У;
правило MIII: если число X порождает число У, то число 4Х порождает число У (как и в случае предыдущей машины);
правило MIV: если число X порождает число У, то число 5Х порождает число УУ (как и в случае предыдущей машины).
— Эта машина, — продолжал Мак-Каллох, — обладает всеми прекрасными свойствами моей последней машины — она подчиняется двум твоим принципам и, кроме того, закону двойных аналогов Фергюссона.
Крейг довольно долго и внимательно изучал эти правила. Наконец он сказал:
— Что-то мне никак не удается сдвинуться с места. Не могу даже найти число, которое порождает само себя. Есть тут такие числа?
— Есть, — ответил Мак-Каллох, — но с помощью этой машины найти их гораздо труднее, чем в предыдущем случае. Честно говоря, я тоже не смог решить эту задачу. А вот Фергюссон с ней справился. Более того, теперь мы знаем, что такое короткое число, порождающее само себя, состоит из десяти цифр.
Крейг опять глубоко задумался.
— А что, первых двух правил недостаточно для нахождения такого числа? — поинтересовался он наконец.
— Нет, конечно! — ответил Мак-Каллох. — Для получения этого числа нам необходимы все четыре правила.
— Удивительное дело, — пробормотал Крейг и вновь погрузился в глубокое раздумье.
— О господи! — вдруг воскликнул он, буквально подскочив на стуле. — Да ведь это же решение загадки сейфа!
— О чем это вы? — спросил Фергюссон.
— А-а, прошу прощения!
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52
Наконец, если у нас имеется произвольная машина, в которую заложены лишь правила 1 и 4, то принцип Крейга и законы Фергюссона продолжают выполняться и в этом случае. Таким образом, если бы мы вместо правила 2 воспользовались правилом 4, то для большинства задач, о которых шла речь в двух предыдущих главах, мы вполне могли бы получить альтернативные решения. (Понятно ли читателю, как все это можно сделать? Если нет, то можно обратиться к приведенным далее пояснениям.)
Я мог бы рассказать еще о многом, но лучше, пожалуй, будет сформулировать мои основные замечания в виде трех теорем.
Теорема 1. Закон Мак-Каллоха (который, как известно, гласит, что при любом А существует некое число X, которое порождает число АХ) оказывается справедливым не только для машин, подчиняющихся правилам 1 и 2, но и для машин, подчиняющихся правилам 1 и 4.
Теорема 2. Любая машина, которая подчиняется закону Мак-Каллоха, подчиняется также и двум принципам Крейга.
Теорема 3. Любая машина, которая подчиняется одновременно второму принципу Крейга и правилу 1, должна подчиняться также и всем законам Фергюссона.
Не сообразит ли читатель, как доказать все эти теоремы?
Решения
Рассмотрим сначала произвольную машину, которая подчиняется правилам 1 и 4. Как известно, при любом X число 52X порождает число XX; поэтому если выбрать в качестве X число 52, то мы получим, что число 5252 порождает число 5252. Итак, у нас есть число, которое порождает само себя. Кроме того, число 552552 порождает повторение самого себя. Далее, чтобы для любого А найти число X, которое порождает АХ, возьмем в качестве X число 52А 52 (в самом деле, оно порождает повторение числа А 52, которое есть число А52А52, то есть число АХ). Тем самым мы доказали теорему 1. (Если мы хотим найти число X, которое порождает повторение АХ, то в качестве X следует взять число 552А552.)
А теперь рассмотрим машину, которая подчиняется выведенным Мак-Каллохом правилам 1, 3 и 4. Числом, порождающим обращение самого себя, является, например, число 452452 (оно порождает обращение повторения числа 452, или, другими словами, обращение числа 452452). (Сравните его с предыдущим решением 43243.) Числом, которое порождает повторение обращения самого себя, является число 54525452. (Сравните его с прежним решением 5432543.)
Далее, рассмотрим машину, которая подчиняется правилам 1, 2 и 4. Мы знаем, что число 33233 порождает свой собственный ассоциат точно так же, как и число 352352. Что касается числа X, порождающего повторение самого себя, то у нас уже имеются два решения — это числа 35235 и 552552. Что же касается числа X, порождающего ассоциат повторения самого себя, то одним решением служит число 3532353; другим — число 35523552. Наконец, для числа, которое порождает повторение своего собственного ассоциата, также существуют два решения — это число 5332533 или число 53525352.
Наконец, рассмотрим некоторую произвольную машину, которая подчиняется по меньшей мере двум из правил Мак-Каллоха, а именно: правилам 1 и 4. Для заданного операционного числа М числом А, порождающим М(Х), оказывается число М52М52. (Сравните его с прежним решением — числом М32МЗ, полученным для машины, в которой вместо правила 4 используется правило 2.) Если теперь задано операционное число М и некое число А, то числом X, порождающим M(AX), будет число М52АМ52. (Сравните его с прежним решением — М32АМЗ.) Построенные решения показывают нам, что оба принципа Крейга могут быть получены на основании правил 1 и 4. Впрочем, я сформулировал гораздо более общее утверждение, а именно: для того чтобы получить принципы Крейга, достаточно одного только закона Мак-Каллоха (теорема 2). Это утверждение можно доказать тем же способом, который использовался нами в гл. 10. В самом деле, для любого заданного операционного числа М существует некое число Y, которое порождает MY; отсюда ясно, что число М У порождает М(М У). Поэтому число X порождает М(Х), где Х = МУ. Точно так же для любого числа А, если имеется некоторое число У, порождающее AMY, число МУ порождает М(АМУ) и, следовательно, число X порождает М(АХ) при Х = МУ.
Что же касается теоремы 3, то ее можно доказать так же, как это делалось в предыдущей главе. [Например, если даны операционные числа М и N и если выполняется второй принцип Крейга, то существует некое число X, которое порождает M(N2X). Если теперь мы обозначим число N2X через У, то получим, что число X порождает М(У), а число У порождаетN(X)]
Ключ
Дело, по которому Крейг поехал в Норвегию, заняло у него гораздо меньше времени, чем он предполагал, и ровно через три недели инспектор возвратился домой. Дома его ждала записка от Мак-Каллоха:
Дорогой Крейг!
Если ты случайно вернешься из Норвегии до 12 мая (это пятница), то приходи ко мне в этот день обедать. Фергюссона я уже пригласил.
С приветом
Норман Мак-Каллох
— Вот и отлично! — сказал себе Крейг. — Я вернулся как раз вовремя!
Крейг приехал к Мак-Каллоху минут через пятнадцать после того, как там появился Фергюссон.
— С благополучным возвращением! — приветствовал приятеля Мак-Каллох.
— Пока вас не было, — сразу же сообщил Фергюссон, — Мак-Каллох изобрел новую числовую машину!
— Ну да? — удивился Крейг.
— Я занимался этим не один, — сказал Мак-Каллох, — Фергюссон тоже приложил к ней руку. А вообще-то машина интересная; на этот раз в нее введены следующие четыре правила:
правило MI: для любого числа X число 2X2 порождает X;
правил о МII: если число X порождает число У, то число 6Х порождает число 2 У;
правило MIII: если число X порождает число У, то число 4Х порождает число У (как и в случае предыдущей машины);
правило MIV: если число X порождает число У, то число 5Х порождает число УУ (как и в случае предыдущей машины).
— Эта машина, — продолжал Мак-Каллох, — обладает всеми прекрасными свойствами моей последней машины — она подчиняется двум твоим принципам и, кроме того, закону двойных аналогов Фергюссона.
Крейг довольно долго и внимательно изучал эти правила. Наконец он сказал:
— Что-то мне никак не удается сдвинуться с места. Не могу даже найти число, которое порождает само себя. Есть тут такие числа?
— Есть, — ответил Мак-Каллох, — но с помощью этой машины найти их гораздо труднее, чем в предыдущем случае. Честно говоря, я тоже не смог решить эту задачу. А вот Фергюссон с ней справился. Более того, теперь мы знаем, что такое короткое число, порождающее само себя, состоит из десяти цифр.
Крейг опять глубоко задумался.
— А что, первых двух правил недостаточно для нахождения такого числа? — поинтересовался он наконец.
— Нет, конечно! — ответил Мак-Каллох. — Для получения этого числа нам необходимы все четыре правила.
— Удивительное дело, — пробормотал Крейг и вновь погрузился в глубокое раздумье.
— О господи! — вдруг воскликнул он, буквально подскочив на стуле. — Да ведь это же решение загадки сейфа!
— О чем это вы? — спросил Фергюссон.
— А-а, прошу прощения!
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52