— спросил Мак-Каллох.
— Я бы хотел начать доказывать его постепенно, — ответил Фергюссон. — Собственно говоря, суть дела заключается в ваших правилах 1 и 2. Поэтому сначала позвольте сделать несколько замечаний относительно вашей первой машины — той, в которой используются только эти два правила. Начнем со следующей простой задачи: можно ли, используя правила 1 и 2, найти два различных числа X и У, таких, чтобы число X порождало У, а число У в свою очередь порождало X?
Крейг и Мак-Каллох тут же занялись этой задачей.
— Ну, конечно, — рассмеялся вдруг Крейг. — Это же очевидно вытекает из того, что совсем недавно показы вал мне Мак-Каллох.
А вы можете найти эти числа?
— Теперь, — сказал Фергюссон, — для любого числа А существуют такие числа X и У, что X порождает У, а число У порождает АХ. Если число А нам задано, то можете ли вы найти числа X и У? Например, можете ли вы найти такие X и У, чтобы X порождало У, а У порождало 7X7
— Мы все еще пользуемся только правилами 1 и 2 или уже можно применять правила 3 и 4? — спросил Крейг.
— Вам понадобятся только правила 1 и 2,— ответил Фергюссон.
— Я уже нашел решение! — тут же заявил Крейг.
4. — Интересно, — сказал Мак-Каллох, просмотрев решение Крейга. — А у меня решение другое.
Действительно, в этой задаче существует и второе решение. Можете ли вы его найти?
5. — Ну, а теперь, — сказал Фергюссон, — мы добрались до действительно важного свойства. Так, из одних только правил 1 и 2 следует, что для любых чисел А и В существуют такие числа X и У, при которых X порождает АУ, а У порождает ВХ. Например, существуют такие X и У, что X порождает 7 У, а У порождает 8X. Не можете ли вы найти эти числа?
6. — Из последней задачи, — сказал Фергюссон, — со всей очевидностью следует (правда, из второго принципа Крейга это получается еще более просто), что для любых операционных чисел М и N должны существовать такие числа X и У, при которых X порождает M(Y), а У порождает N(X). Причем это оказывается справедливым не только для данной машины, но и для любой машины, в программу работы которой включены правила 1 и 2. С помощью вашей теперешней машины можно, например, найти такие X и У, при которых число X порождает обращение числа У, а число У порождает ассоциат числа X.
Сумеете ли вы их найти?
7. — Это страшно интересно, — сказал Фергюссону Мак-Каллох, когда они с Крейгом решили последнюю задачу. — Но у меня возник вот какой вопрос: подчиняется ли моя машина «двойному» аналогу второго принципа Крейга? Иначе говоря, если заданы два операционных числа М и N, а также два произвольных числа А и В, то обязательно ли существуют такие числа X и У, при которых X порождает M(AY), а У порождает N(BX)
— Ну, конечно, — подтвердил Фергюссон. — Например, существуют такие числа X и У, при которых число X порождает повторение 7 У, а число У порождает обращение 89X.
Не могли бы вы найти эти числа?
8. — Я подумал еще вот о чем, — сказал Крейг. — Если имеется некоторое операционное число М и произвольное число В, то обязательно ли должны существовать такие числа X и У, при которых X порождает М(Y), а У порождает ВХ? Например, существуют ли такие X и У, при которых число X порождает ассоциат У, а число У порождает число 78 X?
А как думаете вы?
9. — Фактически, — продолжал пояснения Фергюссон, — у нас возможны самые разные комбинации. Так, давая некоторые операционные числа М и N и произвольные числа А и В, всегда можно найти числа X и У, которые отвечают любому из ниже перечисленных условий:
а) X порождает М(АУ) а У порождает N(X);
б) X порождает М(АУ) а У порождает ВХ;
в) X порождает M(Y), а У порождает X;
г) X порождает M(AY), а У порождает X.
Попробуйте доказать эти утверждения.
10. Триплеты и так далее.
— Ну, теперь-то, мне кажется, мы перебрали уже все возможные варианты, — сказал Крейг.
— Да нет, — ответил Фергюссон. — То, что я вам показывал до сих пор, — это еще только начало. А знаете ли вы, например, что существуют три числа X, У и Z, такие, что число X порождает обращение У, число У порождает повторение Z, а число Z порождает ассоциат X?
— Неужели? — удивился Мак-Каллох.
— Именно так, — подтвердил Фергюссон. — Более того, если заданы три произвольных операционных числа М, N и Р, то должны существовать такие числа X, У и Z, при которых X порождает M(Y), Y порождает N(Z), a Z порождает Р(Х).
Не сумеете ли вы, читатель, доказать это утверждение? И в частности, каковы будут эти числа X, У и Z, если известно, что число X порождает обращение У, число У порождает повторение Z, а число Z порождает ассоциат X?
После того как Крейг и Мак-Каллох решили и эту задачу, Фергюссон сказал:
— Конечно, тут тоже возможны самые разные варианты этого «тройного» закона. Например, если заданы три любых операционных числа М, N и Р, а также три произвольных числа А, В и С, то существуют такие числа X, У и Z, при которых число X порождает M(AY), число У порождает N(BZ), а число Z порождает Р(СХ). Это справедливо и в том случае, если взять не три числа А, В, С, а любые два из них или даже одно. Так, мы можем найти такие числа X, У и Z, при которых X порождает А У, У порождает M(Z), a Z порождает N(BX). Возможны, естественно, и всякие другие варианты — вы вполне можете заняться ими на досуге.
— Кроме того, — продолжал он, — та же идея действует и тогда, когда мы используем 4 операционных числа или даже более. Например, мы можем найти числа X, У, Z и W, при которых число X порождает 78У, число У порождает повторение Z, число Z порождает обращение W, а число W порождает ассоциат 62Х. Возможности практически бесконечны, причем их удивительное многообразие обусловлено всего лишь правилами 1 и 2.
Решения
1. Одно из решений состоит в том, чтобы принять Х=4325243 и У=524325243. Поскольку число 25243 порождает число 5243, то число 325243 порождает ассоциат 5243, или число 524325243, которое и есть У.
Далее, так как число 325243 порождает У, то число 4325243 порождает обращение У, но 4325243 — это как раз и есть X. Таким образом, X порождает обращение У. Кроме того. У, очевидно, порождает повторение X (потому что У — это есть число 52Х, а поскольку число 2Х порождает X, то число 52Х будет порождать повторение X). Итак, X порождает обращение У, а У порождает повторение X.
2. Крейг воспользовался законом Мак-Каллоха, а именно: для любого числа А существует некоторое число X (а именно число 32A3), которое порождает число АХ. Так, в частности, если мы примем А за число 2, то получим некоторое число X (а именно число 3223), которое порождает 2Х. Число же 2Х в свою очередь будет порождать X. Таким образом, в качестве решения этой задачи подходит пара чисел 3223 и 23223: 3223 порождает 23223, а 23223 порождает 3223.
3. Крейг решил эту задачу следующим способом. Он рассудил, что ему надо всего лишь найти такое число X, которое порождает 27X. Тогда, положив У = 27Х, мы получим, что число X порождает У, а число У порождает 7Х. Такое число X он тоже нашел- это число 32273. Поэтому решение Крейга имеет вид: Х = 32273, У=2732273.
То же самое происходит, конечно, и в том случае, если вместо конкретного числа 7 мы возьмем любое число А. В самом деле, если Х = 322АЗ, а У = 2А322АЗ, то число X будет порождать У, а число У будет порождать АХ.
4. Что же касается Мак-Каллоха, то он подошел к решению данной задачи несколько иначе. Он начал с того, что стал искать такое число У, которое порождает 72 У. Теперь, если обозначить через X число 2 У, то мы получаем, что число X порождает У, а число У порождает 7Х.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52
— Я бы хотел начать доказывать его постепенно, — ответил Фергюссон. — Собственно говоря, суть дела заключается в ваших правилах 1 и 2. Поэтому сначала позвольте сделать несколько замечаний относительно вашей первой машины — той, в которой используются только эти два правила. Начнем со следующей простой задачи: можно ли, используя правила 1 и 2, найти два различных числа X и У, таких, чтобы число X порождало У, а число У в свою очередь порождало X?
Крейг и Мак-Каллох тут же занялись этой задачей.
— Ну, конечно, — рассмеялся вдруг Крейг. — Это же очевидно вытекает из того, что совсем недавно показы вал мне Мак-Каллох.
А вы можете найти эти числа?
— Теперь, — сказал Фергюссон, — для любого числа А существуют такие числа X и У, что X порождает У, а число У порождает АХ. Если число А нам задано, то можете ли вы найти числа X и У? Например, можете ли вы найти такие X и У, чтобы X порождало У, а У порождало 7X7
— Мы все еще пользуемся только правилами 1 и 2 или уже можно применять правила 3 и 4? — спросил Крейг.
— Вам понадобятся только правила 1 и 2,— ответил Фергюссон.
— Я уже нашел решение! — тут же заявил Крейг.
4. — Интересно, — сказал Мак-Каллох, просмотрев решение Крейга. — А у меня решение другое.
Действительно, в этой задаче существует и второе решение. Можете ли вы его найти?
5. — Ну, а теперь, — сказал Фергюссон, — мы добрались до действительно важного свойства. Так, из одних только правил 1 и 2 следует, что для любых чисел А и В существуют такие числа X и У, при которых X порождает АУ, а У порождает ВХ. Например, существуют такие X и У, что X порождает 7 У, а У порождает 8X. Не можете ли вы найти эти числа?
6. — Из последней задачи, — сказал Фергюссон, — со всей очевидностью следует (правда, из второго принципа Крейга это получается еще более просто), что для любых операционных чисел М и N должны существовать такие числа X и У, при которых X порождает M(Y), а У порождает N(X). Причем это оказывается справедливым не только для данной машины, но и для любой машины, в программу работы которой включены правила 1 и 2. С помощью вашей теперешней машины можно, например, найти такие X и У, при которых число X порождает обращение числа У, а число У порождает ассоциат числа X.
Сумеете ли вы их найти?
7. — Это страшно интересно, — сказал Фергюссону Мак-Каллох, когда они с Крейгом решили последнюю задачу. — Но у меня возник вот какой вопрос: подчиняется ли моя машина «двойному» аналогу второго принципа Крейга? Иначе говоря, если заданы два операционных числа М и N, а также два произвольных числа А и В, то обязательно ли существуют такие числа X и У, при которых X порождает M(AY), а У порождает N(BX)
— Ну, конечно, — подтвердил Фергюссон. — Например, существуют такие числа X и У, при которых число X порождает повторение 7 У, а число У порождает обращение 89X.
Не могли бы вы найти эти числа?
8. — Я подумал еще вот о чем, — сказал Крейг. — Если имеется некоторое операционное число М и произвольное число В, то обязательно ли должны существовать такие числа X и У, при которых X порождает М(Y), а У порождает ВХ? Например, существуют ли такие X и У, при которых число X порождает ассоциат У, а число У порождает число 78 X?
А как думаете вы?
9. — Фактически, — продолжал пояснения Фергюссон, — у нас возможны самые разные комбинации. Так, давая некоторые операционные числа М и N и произвольные числа А и В, всегда можно найти числа X и У, которые отвечают любому из ниже перечисленных условий:
а) X порождает М(АУ) а У порождает N(X);
б) X порождает М(АУ) а У порождает ВХ;
в) X порождает M(Y), а У порождает X;
г) X порождает M(AY), а У порождает X.
Попробуйте доказать эти утверждения.
10. Триплеты и так далее.
— Ну, теперь-то, мне кажется, мы перебрали уже все возможные варианты, — сказал Крейг.
— Да нет, — ответил Фергюссон. — То, что я вам показывал до сих пор, — это еще только начало. А знаете ли вы, например, что существуют три числа X, У и Z, такие, что число X порождает обращение У, число У порождает повторение Z, а число Z порождает ассоциат X?
— Неужели? — удивился Мак-Каллох.
— Именно так, — подтвердил Фергюссон. — Более того, если заданы три произвольных операционных числа М, N и Р, то должны существовать такие числа X, У и Z, при которых X порождает M(Y), Y порождает N(Z), a Z порождает Р(Х).
Не сумеете ли вы, читатель, доказать это утверждение? И в частности, каковы будут эти числа X, У и Z, если известно, что число X порождает обращение У, число У порождает повторение Z, а число Z порождает ассоциат X?
После того как Крейг и Мак-Каллох решили и эту задачу, Фергюссон сказал:
— Конечно, тут тоже возможны самые разные варианты этого «тройного» закона. Например, если заданы три любых операционных числа М, N и Р, а также три произвольных числа А, В и С, то существуют такие числа X, У и Z, при которых число X порождает M(AY), число У порождает N(BZ), а число Z порождает Р(СХ). Это справедливо и в том случае, если взять не три числа А, В, С, а любые два из них или даже одно. Так, мы можем найти такие числа X, У и Z, при которых X порождает А У, У порождает M(Z), a Z порождает N(BX). Возможны, естественно, и всякие другие варианты — вы вполне можете заняться ими на досуге.
— Кроме того, — продолжал он, — та же идея действует и тогда, когда мы используем 4 операционных числа или даже более. Например, мы можем найти числа X, У, Z и W, при которых число X порождает 78У, число У порождает повторение Z, число Z порождает обращение W, а число W порождает ассоциат 62Х. Возможности практически бесконечны, причем их удивительное многообразие обусловлено всего лишь правилами 1 и 2.
Решения
1. Одно из решений состоит в том, чтобы принять Х=4325243 и У=524325243. Поскольку число 25243 порождает число 5243, то число 325243 порождает ассоциат 5243, или число 524325243, которое и есть У.
Далее, так как число 325243 порождает У, то число 4325243 порождает обращение У, но 4325243 — это как раз и есть X. Таким образом, X порождает обращение У. Кроме того. У, очевидно, порождает повторение X (потому что У — это есть число 52Х, а поскольку число 2Х порождает X, то число 52Х будет порождать повторение X). Итак, X порождает обращение У, а У порождает повторение X.
2. Крейг воспользовался законом Мак-Каллоха, а именно: для любого числа А существует некоторое число X (а именно число 32A3), которое порождает число АХ. Так, в частности, если мы примем А за число 2, то получим некоторое число X (а именно число 3223), которое порождает 2Х. Число же 2Х в свою очередь будет порождать X. Таким образом, в качестве решения этой задачи подходит пара чисел 3223 и 23223: 3223 порождает 23223, а 23223 порождает 3223.
3. Крейг решил эту задачу следующим способом. Он рассудил, что ему надо всего лишь найти такое число X, которое порождает 27X. Тогда, положив У = 27Х, мы получим, что число X порождает У, а число У порождает 7Х. Такое число X он тоже нашел- это число 32273. Поэтому решение Крейга имеет вид: Х = 32273, У=2732273.
То же самое происходит, конечно, и в том случае, если вместо конкретного числа 7 мы возьмем любое число А. В самом деле, если Х = 322АЗ, а У = 2А322АЗ, то число X будет порождать У, а число У будет порождать АХ.
4. Что же касается Мак-Каллоха, то он подошел к решению данной задачи несколько иначе. Он начал с того, что стал искать такое число У, которое порождает 72 У. Теперь, если обозначить через X число 2 У, то мы получаем, что число X порождает У, а число У порождает 7Х.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52