Мы не будем приводить формулы и производить вычисления, а подчеркнем лишь идейную сторону дела.
Довольно редко дело обстоит так, что после проведенного единичного эксперимента ошибочные гипотезы смело могут быть отброшены, а единственно правильная поставлена на пьедестал почета. Большей частью разовый опыт лишь изменяет вероятность достоверности высказанных гипотез. Если одна из них «взяла верх» над другими не слишком значительно, то потребуется и второй эксперимент, а может быть, и третий, и сотый. По мере накопления информации вероятность правильной гипотезы будет постепенно расти. Впрочем, рост может быть и не монотонным, а на каком-то разе так называемая правильная гипотеза может здорово проиграть и даже совсем рухнуть. Так в примере урны с шарами дело может обстоять следующим образом: вытянув десять черных шаров, мы уже почти уверимся в том, что в ней нет шаров иного цвета, ан нет – одиннадцатый раз вытащили белый, и вопрос вновь остается открытым. В конце концов истина восторжествует и наступит ясность, и тогда опытное исследование может быть прекращено, и результат обнародован.
Имеется ряд проблем, в которых вероятности гипотез могут быть достаточно хорошо вычислены на каждом этапе исследования в зависимости от полученного объема информации. В подобных случаях планирование эксперимента может быть поручено ЭВМ. Машина будет оценивать вероятности всех гипотез после каждого шага и остановится тогда, когда вероятность одной из гипотез станет настолько значительной, что ее можно считать истиной.
Работы Томаса Бейеса лежат в основе современного подхода к эксперименту. Подход этот используется в генетических исследованиях, в теории военной стратегии, в исследовании движения ядерных частиц и во многих других областях деятельности людей.
Миллион цифр
В заголовке мы написали «миллион цифр», а точнее надо бы было сказать – миллион случайных цифр. Такая книжка, не содержащая ничего, кроме миллиона цифр, вышла в свет и нашла своих читателей. Возьмем ряд случайных цифр: 0, 1, 9, 6, 7… Что, собственно говоря, означает, что они образуют случайную последовательность? И кого интересует такой ряд? Начнем с ответа на второй вопрос.
Представьте себе, что вы проводите обширный эксперимент по агротехнике. Поле разбито на 1000 небольших участков, каждый из которых должен быть ухожен определенным способом. Пускай способов таких (агротехнических систем) 10. Занумеруем их. Теперь нужно решить, на каком участке какую агротехническую систему применить. Для этого каждому участку припишем какую-либо цифру от 0 до 9, и притом сделаем так, чтобы приписка была совершенно случайной. Только при случайной нумерации наши выводы о целесообразности того или иного способа обработки почвы будут лишены сознательной или бессознательной ошибки, связанной с тем, что для какого-то «излюбленного» способа выбираются лучшие участки.
Поручить кому-либо называть цифры наобум нельзя, нельзя даже ребенку, который не заинтересован в пропаганде ваших или еще чьих-то агротехнических теорий, нельзя потому, что, оказывается, каждый человек питает симпатию к одним и нелюбовь к другим цифрам. Поэтому «наобум» не будет означать «случайно». Ряды же случайных цифр нужны самым разным экспериментаторам: медикам и социологам, администраторам и полководцам, экономистам и метеорологам и многим-многим другим.
Нужду в случайных цифрах испытывают также и математики, решающие свои задачи так называемым методом Монте-Карло, который становится все более распространенным по мере увеличения числа электронно-вычислительных машин. Чтобы дать хоть некоторое представление об этом методе, приведем несколько простых примеров.
Мы хотим вычислить площадь произвольной сложной фигуры, какую представляет, ну скажем, Московская область на карте. Площадь всей карты найти просто – надо помножить ее ширину на длину. А как быть с фигурой причудливой формы?
Представьте себе, что на карту падают капли дождя и случайным образом усеивают карту. Подсчитаем общее число капелек и число капелек, попавших на интересующую нас Московскую область. Ясно, что отношение этих чисел должно равняться отношению площади всей карты к площади Московской области.
Разумеется, подставлять карту под дождь не надо. Каждую каплю можно представить двумя случайными числами (двумя координатами на плоскости), и тогда «заполнение площадей каплями» можно произвести мысленно. Но для этого также нужна книга случайных цифр, о которой у нас идет речь.
Еще пример. Во многих задачах требуется вычислить, через сколько времени достигнет заданного барьера некая точка, если известно, откуда она вышла, и сказано, что движется она случайными шагами одинаковой длины, но направленными как попало. Разбив это «как попало» на 10 направлений (скажем, под углами 36°, 72°, 108° и т.д.), мы можем перемещать точку при помощи книги случайных цифр.
Итак, случайные цифры нужны. Но что же такое ряд случайных цифр?
На первый взгляд безупречным выглядит следующее определение: нет правила, по которому можно было бы, закрыв пальцами любую из цифр книги, угадать, какая она, с вероятностью большей, чем 0,1 (потому что цифр 10).
Однако это определение не подходит, и вот почему. При помощи счетных машин с точностью до ста тысяч цифр после запятой вычислена величина «пи» – замечательное число, начинающееся цифрами 3,14… Если бы вы взглянули на эту последовательность, то она вам показалась бы идеально беспорядочной. Во всяком случае, вы будете действительно угадывать любую цифру лишь с вероятностью 0,1. Более того, исследуя число «пи» повнимательнее, вы найдете, что у него нет склонности к какой-либо особенной цифре и все они встречаются в среднем одинаково часто. Вы не найдете также никаких особенностей в расположении двух или трех ближайших цифровых соседей. И тем не менее тот, кто знает, что это число «пи», может предсказать каждую следующую цифру.
Но дело обстоит еще хуже для составителей книги случайных цифр, когда исследуется еще одно число. Структура числа «пи» в глаза не бросается, а вот у такого числа, как 12345678910111213141516171819…, закономерность в расположении цифр – так сказать, узор ряда – вполне ясна. В то же время оказывается, что этот ряд удовлетворяет всем требованиям беспорядочной серии: вероятность появления каждой цифры равна 0,1; двух определенных цифр рядом – 0,01; трех определенных цифр – 0,001 и т.д. То есть никакие комбинации не имеют преимуществ.
После размышлений математики пришли к такому выводу: нет ничего странного в том, что ограниченная последовательность цифр обладает некоторым узором. При этом чем длиннее серии случайных цифр, тем чаще на отдельных ее отрезках будут встречаться самые странные узоры.
Все сказанное показывает, что было бы большой ошибкой ставить знак равенства между отсутствием узора в следовании цифр, штрихов или событий, с одной стороны, и случайностью этих событий – с другой. Вот вам пример: большего «беспорядка», чем расположение звезд на небе, пожалуй, не придумаешь. Тем не менее оно полно созвездий, имеющих характерный рисунок.
В ряду случайных событий, таких, как появление «черного» и «красного» в рулетке, мы найдем и длинные ряды одинакового цвета, и ряды, в которых множество раз два «черных» чередуются с одним «красным».
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
Довольно редко дело обстоит так, что после проведенного единичного эксперимента ошибочные гипотезы смело могут быть отброшены, а единственно правильная поставлена на пьедестал почета. Большей частью разовый опыт лишь изменяет вероятность достоверности высказанных гипотез. Если одна из них «взяла верх» над другими не слишком значительно, то потребуется и второй эксперимент, а может быть, и третий, и сотый. По мере накопления информации вероятность правильной гипотезы будет постепенно расти. Впрочем, рост может быть и не монотонным, а на каком-то разе так называемая правильная гипотеза может здорово проиграть и даже совсем рухнуть. Так в примере урны с шарами дело может обстоять следующим образом: вытянув десять черных шаров, мы уже почти уверимся в том, что в ней нет шаров иного цвета, ан нет – одиннадцатый раз вытащили белый, и вопрос вновь остается открытым. В конце концов истина восторжествует и наступит ясность, и тогда опытное исследование может быть прекращено, и результат обнародован.
Имеется ряд проблем, в которых вероятности гипотез могут быть достаточно хорошо вычислены на каждом этапе исследования в зависимости от полученного объема информации. В подобных случаях планирование эксперимента может быть поручено ЭВМ. Машина будет оценивать вероятности всех гипотез после каждого шага и остановится тогда, когда вероятность одной из гипотез станет настолько значительной, что ее можно считать истиной.
Работы Томаса Бейеса лежат в основе современного подхода к эксперименту. Подход этот используется в генетических исследованиях, в теории военной стратегии, в исследовании движения ядерных частиц и во многих других областях деятельности людей.
Миллион цифр
В заголовке мы написали «миллион цифр», а точнее надо бы было сказать – миллион случайных цифр. Такая книжка, не содержащая ничего, кроме миллиона цифр, вышла в свет и нашла своих читателей. Возьмем ряд случайных цифр: 0, 1, 9, 6, 7… Что, собственно говоря, означает, что они образуют случайную последовательность? И кого интересует такой ряд? Начнем с ответа на второй вопрос.
Представьте себе, что вы проводите обширный эксперимент по агротехнике. Поле разбито на 1000 небольших участков, каждый из которых должен быть ухожен определенным способом. Пускай способов таких (агротехнических систем) 10. Занумеруем их. Теперь нужно решить, на каком участке какую агротехническую систему применить. Для этого каждому участку припишем какую-либо цифру от 0 до 9, и притом сделаем так, чтобы приписка была совершенно случайной. Только при случайной нумерации наши выводы о целесообразности того или иного способа обработки почвы будут лишены сознательной или бессознательной ошибки, связанной с тем, что для какого-то «излюбленного» способа выбираются лучшие участки.
Поручить кому-либо называть цифры наобум нельзя, нельзя даже ребенку, который не заинтересован в пропаганде ваших или еще чьих-то агротехнических теорий, нельзя потому, что, оказывается, каждый человек питает симпатию к одним и нелюбовь к другим цифрам. Поэтому «наобум» не будет означать «случайно». Ряды же случайных цифр нужны самым разным экспериментаторам: медикам и социологам, администраторам и полководцам, экономистам и метеорологам и многим-многим другим.
Нужду в случайных цифрах испытывают также и математики, решающие свои задачи так называемым методом Монте-Карло, который становится все более распространенным по мере увеличения числа электронно-вычислительных машин. Чтобы дать хоть некоторое представление об этом методе, приведем несколько простых примеров.
Мы хотим вычислить площадь произвольной сложной фигуры, какую представляет, ну скажем, Московская область на карте. Площадь всей карты найти просто – надо помножить ее ширину на длину. А как быть с фигурой причудливой формы?
Представьте себе, что на карту падают капли дождя и случайным образом усеивают карту. Подсчитаем общее число капелек и число капелек, попавших на интересующую нас Московскую область. Ясно, что отношение этих чисел должно равняться отношению площади всей карты к площади Московской области.
Разумеется, подставлять карту под дождь не надо. Каждую каплю можно представить двумя случайными числами (двумя координатами на плоскости), и тогда «заполнение площадей каплями» можно произвести мысленно. Но для этого также нужна книга случайных цифр, о которой у нас идет речь.
Еще пример. Во многих задачах требуется вычислить, через сколько времени достигнет заданного барьера некая точка, если известно, откуда она вышла, и сказано, что движется она случайными шагами одинаковой длины, но направленными как попало. Разбив это «как попало» на 10 направлений (скажем, под углами 36°, 72°, 108° и т.д.), мы можем перемещать точку при помощи книги случайных цифр.
Итак, случайные цифры нужны. Но что же такое ряд случайных цифр?
На первый взгляд безупречным выглядит следующее определение: нет правила, по которому можно было бы, закрыв пальцами любую из цифр книги, угадать, какая она, с вероятностью большей, чем 0,1 (потому что цифр 10).
Однако это определение не подходит, и вот почему. При помощи счетных машин с точностью до ста тысяч цифр после запятой вычислена величина «пи» – замечательное число, начинающееся цифрами 3,14… Если бы вы взглянули на эту последовательность, то она вам показалась бы идеально беспорядочной. Во всяком случае, вы будете действительно угадывать любую цифру лишь с вероятностью 0,1. Более того, исследуя число «пи» повнимательнее, вы найдете, что у него нет склонности к какой-либо особенной цифре и все они встречаются в среднем одинаково часто. Вы не найдете также никаких особенностей в расположении двух или трех ближайших цифровых соседей. И тем не менее тот, кто знает, что это число «пи», может предсказать каждую следующую цифру.
Но дело обстоит еще хуже для составителей книги случайных цифр, когда исследуется еще одно число. Структура числа «пи» в глаза не бросается, а вот у такого числа, как 12345678910111213141516171819…, закономерность в расположении цифр – так сказать, узор ряда – вполне ясна. В то же время оказывается, что этот ряд удовлетворяет всем требованиям беспорядочной серии: вероятность появления каждой цифры равна 0,1; двух определенных цифр рядом – 0,01; трех определенных цифр – 0,001 и т.д. То есть никакие комбинации не имеют преимуществ.
После размышлений математики пришли к такому выводу: нет ничего странного в том, что ограниченная последовательность цифр обладает некоторым узором. При этом чем длиннее серии случайных цифр, тем чаще на отдельных ее отрезках будут встречаться самые странные узоры.
Все сказанное показывает, что было бы большой ошибкой ставить знак равенства между отсутствием узора в следовании цифр, штрихов или событий, с одной стороны, и случайностью этих событий – с другой. Вот вам пример: большего «беспорядка», чем расположение звезд на небе, пожалуй, не придумаешь. Тем не менее оно полно созвездий, имеющих характерный рисунок.
В ряду случайных событий, таких, как появление «черного» и «красного» в рулетке, мы найдем и длинные ряды одинакового цвета, и ряды, в которых множество раз два «черных» чередуются с одним «красным».
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60